Distribución de probabilidad conjunta

Distribución de probabilidad conjunta discreta

Se dice que la función $p(x,y)$, es una función de masa de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas $X, Y$, si se cumple que

  1. $p(x,y)\geq0$ para todo $x,y \in$ al rango de $X,Y$, respectivamente.
  2. $\sum_x\sum_y p(x,y)=1$
  3. ${\sum\sum}_{(x,y)\in A}p(x,y) = \mathbb{P}[(X,Y)\in A]$ con $A\in$ al rango de $X,Y$.

Ejercicio

Suponga un experimento que consta en lanzar dos dados al aire. Sea \(X\) la variable aleatoria que indica la suma resultante de los dos dados, y \(Y\) la variable aleatoria del valor absoluto de la diferencia de los dos dados. Defina

  1. El espacio muestral \(S\) del experimento aleatorio.
  2. Los valores que puede tomar la variable aleatoria \(X\).
  3. Los valores que puede tomar la variable aleatoria \(Y\).
  4. La función de probabilidad conjunta del experimento aleatorio.
  5. La función de masa de probabilidad está bien definida?.
  6. Calcule la probabilidad de que la suma de los dados sea menor a \(5\), pero la resta absoluta sea a lo más de \(2\).

Solución

  1. Sean los números del \(1\) al \(6\) los números que representan el resultado del primer y segundo dado, siendo la primera posición el resultado del primer dado, y la segunda posición el resultado del segundo dado, entonces, se tendrá que el espacio muestral se define como \[\begin{align*} S = \{&11,\;12,\;13,\;14,\;15,\;16, \\ &21,\;22,\;23,\;24,\;25,\;26, \\ &31,\;32,\;33,\;34,\;35,\;36, \\ &41,\;42,\;43,\;44,\;45,\;46, \\ &51,\;52,\;53,\;54,\;55,\;56, \\ &61,\;62,\;63,\;64,\;65,\;66\} \end{align*}\]
  2. Como el interés de la variable aleatoria \(X\) radica en la suma del resultado obtenido por los dos dados, se tendrá entonces que a partir del espacio muestral \(S\) se puede encontrar que la suma en cada situación es \[\begin{align*} S = \{&\underset{2}{11},\;\underset{3}{12},\;\underset{4}{13},\;\underset{5}{14},\;\underset{6}{15},\;\underset{7}{16}, \\ &\underset{3}{21},\;\underset{4}{22},\;\underset{5}{23},\;\underset{6}{24},\;\underset{7}{25},\;\underset{8}{26}, \\ &\underset{4}{31},\;\underset{5}{32},\;\underset{6}{33},\;\underset{7}{34},\;\underset{8}{35},\;\underset{9}{36}, \\ &\underset{5}{41},\;\underset{6}{42},\;\underset{7}{43},\;\underset{8}{44},\;\underset{9}{45},\;\underset{10}{46}, \\ &\underset{6}{51},\;\underset{7}{52},\;\underset{8}{53},\;\underset{9}{54},\;\underset{10}{55},\;\underset{11}{56}, \\ &\underset{7}{61},\;\underset{8}{62},\;\underset{9}{63},\;\underset{10}{64},\;\underset{11}{65},\;\underset{12}{66}\} \end{align*}\] Evidenciando, que podemos asignar los valores \(2,3,\ldots,12\) a la variable aleatoria \(X\).
  3. Como el interés de la variable aleatoria \(Y\) radica en el valor absoluto de la resta absoluta de los resultado obtenido por los dos dados, se tendrá entonces que a partir del espacio muestral \(S\) se puede encontrar que la resta absoluta en cada situación es \[\begin{align*} S = \{&\underset{0}{11},\;\underset{1}{12},\;\underset{2}{13},\;\underset{3}{14},\;\underset{4}{15},\;\underset{5}{16}, \\ &\underset{1}{21},\;\underset{0}{22},\;\underset{1}{23},\;\underset{2}{24},\;\underset{3}{25},\;\underset{4}{26}, \\ &\underset{2}{31},\;\underset{1}{32},\;\underset{0}{33},\;\underset{1}{34},\;\underset{2}{35},\;\underset{3}{36}, \\ &\underset{3}{41},\;\underset{2}{42},\;\underset{1}{43},\;\underset{0}{44},\;\underset{1}{45},\;\underset{2}{46}, \\ &\underset{4}{51},\;\underset{3}{52},\;\underset{2}{53},\;\underset{1}{54},\;\underset{0}{55},\;\underset{1}{56}, \\ &\underset{5}{61},\;\underset{4}{62},\;\underset{3}{63},\;\underset{2}{64},\;\underset{1}{65},\;\underset{0}{66}\} \end{align*}\] Evidenciando, que podemos asignar los valores \(0,1,\ldots,5\) a la variable aleatoria \(Y\).
  4. Para encontrar la función de probabilidades del experimento aleatorio asociadas a la función de probabilidad conjunta, podemos emplear la definición de la frecuencia relativa, aprovechando que todos los puntos del espacio muestral poseen la misma probabilidad y que tenemos el espacio muestral de las dos variables aleatorias.
    Por ejemplo, se tiene que cuando \(X=2\), \(Y\) solo puede ser igual a \(0\) en el punto muestral \(11\), y en consecuencia, \(\mathbb{P}(X=2, Y=0) = 1/36\). Similarmente, se tiene que cuando \(X=3\), \(Y\) solo puede ser igual a \(1\) en los dos puntos puestrales \(12\) y \(21\), y en consecuencia, \(\mathbb{P}(X=3, Y=1) = 2/36\). Procedimiento similar se aplica para el calculo de todas las probabilidades posibles, obteniendo la siguiente tabla resultante
  5. Dado que solo nos interesa la situación en que la suma sea menor a \(5\) y la resta absoluta sea a lo más de \(2\), se tendrá que nos están preguntando por la probabilidad de que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X<5, Y\leq2) \end{align*}\] entonces al observar la tabla de probabilidades tenemos que las probabilidades que cumplen tal condición son
    Por tanto, la probabilidad calculada será \[\begin{align*} \mathbb{P}(X<5, Y\leq2) = & \sum_{x=2}^{4}\sum_{y=0}^2p(x,y) \\ = & p(2,0) + p(2,1) + p(2,2) + p(3,0) + \ldots p(4,2) \\ = &\frac{1}{36} + 0 + 0 + 0 + \frac{2}{36} + 0 + \frac{1}{36} + 0 + \frac{2}{36} \\ = &\frac{6}{36} \end{align*}\] y en consecuencia, se tendrá que la probabilidad de que la suma de los dados sea menor a \(5\), pero la resta absoluta sea a lo más de \(2\) es del \(16.67\%\).

Distribución de probabilidad conjunta continua

Se dice que la función $f(x,y)$, es una función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas $X, Y$, si se cumple que

  1. $f(x,y)\geq0$ para todo $x,y \in \mathbb{R}$.
  2. $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dxdy=1$
  3. $\iint_{(x,y)\in A}f(x,y) = \mathbb{P}[(X,Y)\in A]$ con $A$ un intervalo de valores $\in \mathbb{R}$

Ejercicio

Suponga que se tiene interés en observar el número promedio de horas de tiempo libre que posee un profesor en un día y el número promedio de horas de tiempo libre que poseen los estudiantes a los cuales se les dicta un curso de Estadística I. Para ello, se encuentra que la función de densidad de probabilidad conjunta está dada por \[\begin{align*} f(x,y)=\frac{k}{8}xy^2 \quad \quad 0<x<2; 1<y<4 \end{align*}\] siendo \(X\) la variable aleatoria que representa el número promedio de horas de tiempo libre del profesor y \(Y\) el número promedio de horas de tiempo libre de los estudiantes. A partir de dicha función

  1. Encuentre el valor de la constante \(k\) para que hace que \(f(x,y)\) se encuentre bien definida.
  2. Calcule la probabilidad de que el tiempo promedio libre que tiene el profesor sea a lo más de \(0.7\) horas, y el tiempo promedio libre de los estudiantes se encuentre entre \(1.2\) y \(2.3\) horas.

Solución

  1. Para verificar si la función de distribución conjunta está bien definida, es necesario observar si para todo \(X\) y \(Y\) en los dominio definido, la función de probabilidad de densidad de probabilidad es mayor o igual a \(0\). en donde se aprecia que al ser una multiplicación, y que los dominios se encuentran definidos para números positivos, se tendrá que \(f(x,y)\geq0\) siempre y cuando \(k>0\).
    Ahora, para encontrar el valor de \(k\) que hace que la función de densidad de probabilidad conjunta se encuentre bién definida, se tendrá que integrar \(f(x,y)\) en todo el dominio definido para la variable aleatoria \(X\) y la variable aleatoria \(Y\). \[\begin{align*} \int_0^2\int_1^4\frac{k}{8}xy^2\text{ d}y\text{ d}x =& \frac{k}{8}\int_0^2\int_1^4xy^2\text{ d}y\text{ d}x \\ =& \frac{k}{8}\int_0^2x\frac{y^3}{3}\Bigg|^4_1\text{ d}x \\ =& \frac{k}{24}\int_0^2x(4^3 - 1^3)\text{ d}x \\ =& \frac{k}{24}\int_0^2x(64 - 1)\text{ d}x \\ =& k\frac{63}{24}\int_0^2x\text{ d}x \\ =& k\frac{63}{24}\frac{x^2}{2}\Bigg|_0^2 \\ =& k\frac{63}{48}(2^2 - 0^2) \\ =& k\frac{63}{48}(4) \\ =& k\frac{21}{4} \\ \end{align*}\] Y por tanto, para que \(f(x,y)\) sea una función bién definida se tendrá que \(k\) deberá ser igual a \(\frac{4}{21}\), debido a que la integral en todo el dominio definido siempre debe dar igual a \(1\).
  2. Dado que el interés es encontrar la probabilidad de que el tiempo promedio que tiene libre el profesor y los estudiantes es a lo más de \(0.7\) y entre \(1.2\) y \(2.3\) horas, respectivamente, entonces se tendrá que la probabilidad a calcular será \[\begin{align*} \mathbb{P}(X \leq 0.7;\; 1.2 < Y < 2.3) \end{align*}\] Así, que al realizar la integral se obtendrá que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X \leq 0.7, 1.2 < Y < 2.3) =& \int_0^{0.7}\int_{1.2}^{2.3}\frac{4}{21}\frac{1}{8}xy^2\text{ d}y\text{ d}x \\ =& \frac{1}{42}\int_0^{0.7}\int_{1.2}^{2.3}xy^2\text{ d}y\text{ d}x \\ =& \frac{1}{42}\int_0^{0.7}x\frac{y^3}{3}\Bigg|_{1.2}^{2.3}\text{ d}x \\ =& \frac{1}{126}\int_0^{0.7}x(2.3^3 - 1.2^3)\text{ d}x \\ =& \frac{1}{126}\int_0^{0.7}x(12.167 - 1.728)\text{ d}x \\ =& \frac{10.439}{126}\int_0^{0.7}x\text{ d}x \\ =& \frac{10.439}{126}\frac{x^2}{2}\Bigg|_0^{0.7} \\ =& \frac{10.439}{252}(0.7^2 - 0^2) \\ =& \frac{10.439}{252}(0.49) \\ =& 0.0203 \\ \end{align*}\] En consecuencia se tendrá que la probabilidad de que el tiempo promedio libre que tiene el profesor sea a lo más de \(0.7\) horas, y el tiempo promedio libre que tienen los estudiantes se encuentre entre \(1.2\) y \(2.3\) horas, es del \(2.03\%\).