Lista de ejercicios

  1. Se realiza un estudio para determinar si los habitantes de dos islas ubicadas en el Pacífico poseen o no la misma ascendencia racial, y para ello un antropólogo decide emplear los índices cefálicos de $12$ hombres adultos de la isla $A$ y $18$ de la isla $B$ obteniendo los sigiuentes resultados
    Isla A
    78.96 79.30 78.79 75.59 74.52 75.97 74.69 73.31 76.78 80.86
    81.09 76.94
    Isla B
    72.27 71.40 74.25 73.55 73.87 71.17 73.38 72.39 72.09 73.81
    68.23 71.57 72.89 74.89 73.46 76.79 70.98 69.58

    Mediante el empleo de un nivel de significancia del $8\%$ pruebe si es razonable suponer que las dos poblaciones poseen en promedio índices cefálicos similares.

  2. Se realiza un estudio en un río para observar la concentración de zinc que éste posee, y para ello se realiza una muestra aleatoria de $36$ sitios diferentes y se encuentra que la concentración promedio de zinc es de $2.8$ gramos por mililitro con una desviación estándar de $0.6$ gramos por mililitro. Si la función de probabilidad no es conocida, pero se sabe su desviación estándar es de $0.3$ gramos por mililitro, pruebe con un nivel de confianza del $5\%$ si la concentración media de zinc es de al menos $3$ gramos por mililitro.
  3. Un botánico desea probar la hipótesis de que el diámetro promedio de las flores de una planta en particular es $9.6_{cm}$, y para probar ésto, decide tomar una muestra aleatoria de $80$ flores y no rechazar la hipótesis si la media de la muestra cae entre $9.3_{cm}$ y $9.9_{cm}$; si la media de esta muestra cae fuera de este intervalo, el botánico rechazará tal hipótesis. ¿Qué decisión deberá tomará el botánico y qué situación estará ocurriendo si
    1. obtiene una media muestral de \(10.2_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.6_{cm}\)
    2. obtiene una media muestral de \(10.2_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.8cm\)
    3. obtiene una media muestral de \(9.4_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.6cm\)
    4. obtiene una media muestral de \(9.4_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.8cm\)
    5. Si la desviación estándar es igual a \(2_{cm}\), calcule la probabilidad de cometer Error Tipo I.
    6. Si la desviación estándar es igual a \(2_{cm}\), Calcule la probabilidad de cometer Error Tipo II, si la verdadera media \(\mu=9.8cm\).
  4. Suponga que el contenido de ácido sulfúrico, en litros, de una muestra aleatoria de $7$ contenedores similares es de
    9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 10.2 9.6

    Emplee el P-valor para verificar si hay evidencia sobre que el contenido promedio de todos los contenedores de ácido sulfúrico es de más de $10$ litros.

  5. Para un experimento de pruebas psicológicas se seleccionan al azar $25$ sujetos de prueba y se les mide sus tiempos de reacción, en segundos, ante un estímulo particular, obteniendo que el tiempo promedio de reacción de los sujetos es de $6.2$ segundos con una desviación estándar de $1.3$ segundos. La experiencia sugiere que la varianza en los tiempos de reacción ante los diferentes tipos de estímulos es de $4_{s^2}$ y que la distribución de probabilidad para los tiempos de reacción es aproximadamente normal. Basado en lo anterior, emplee un nivel de significancia del $98\%$ para probar si el tiempo medio de reacción de todos los individuos es como máximo de $5.5$ segundos.
  6. El gerente de una gran tabacalera afirma en una conferencia de prensa que el contenido promedio de alquitrán de los cigarrillos que produce es de $14$ mg/cigarrillo. Un ingeniero realiza $5$ mediciones del contenido de alquitrán de cierta clase de cigarrillos para observar si la afirmación del gerente sobre el contenido de alquitrán es cierta, y obtiene en la muestra los siguientes resultados
    14.5 14.2 14.4 14.3 14.6

    ¿Encuentra apoyo la afirmación del gerente de la tabacalera?, emplee un nivel de significancia del $5\%$ para su conclusión.

  7. Suponga que el grupo ALIADO, realiza un estudio sobre la altura que poseen los estudiantes de la Universidad, y para ello, toma una muestra aleatoria de $38$ estudiantes universitarios y encuentra que la estatura promedio fue de $174.5$ centímetros con una desviación estándar de $6.9$ centímetros. Empleando un nivel de significancia del $2\%$, pruebe si la altura promedio de todos los estudiantes de la universidad es de al menos $173$ centímetros.
  8. El gerente de una planta sospecha que el número promedio de piezas que produce un trabajador en particular por día, es menor que el número promedio de piezas de los demás trabajadores. Por ello, el gerente decide observar el número de piezas que produce este trabajador durante diez días, seleccionados al azar, obteniendo los siguientes resultados
    15 12 28 13 12 15 16 9 8 14
    1. Si se sabe que la desviación estándar para todos los trabajadores es de \(2\) unidades, emplee un nivel de significancia del \(2\%\) para probar si tiene o no apoyo la sospecha del gerente de que el número promedio de unidades producidas por el trabajador es menor a \(15\) unidades? Obtener el P-valor para el contraste.
    2. Emplee un nivel de significancia del \(5\%\) para probar si la proporción de días que el trabajador produce menos de \(15\) unidades es mayor al \(80\%\).
  9. ¿Está menguando el romance de los estadounidenses con el cine?, En una encuesta realizada por la empresa Gallup a $800$ adultos seleccionados de forma aleatoria, se encontró que $45\%$ de los encuestados indicaron que el cine estaba mejorando, mientras que, $43\%$ de los encuestados dijeron que el cine estaba empeorando. Basados en lo anterior, emplee un nivel de significancia del $12\%$ para probar si la proporción total de adultos que piensan que el cine está mejorando es superior al $50\%$.
  10. Un estudio del número de comidas de negocios que los ejecutivos de las industrias de seguros y bancos reclaman mensualmente como gastos deducibles, se basó en muestras aleatorias y produjo los siguientes resultados
    Seguros Bancos
    Muestra 40 50
    Media muestral 9.1 8.0
    Desviación estándar muestral 1.9 2.1

    Use un nivel del $5\%$ de significancia para probar si el gasto promedio deducible de ambas poblaciones es igual. Encuentre el P-valor para esta prueba.

  11. A la mayoría de estadounidenses les gusta participar en eventos deportivos o al menos verlos. Algunos sienten que los deportes tienen más que sólo valor de entretenimiento, tanto así, que en una encuesta realizada a $1000$ adultos, realizada por KRC Research & Consulting, se encontró que $68\%$ sintieron que los deportes de gran atractivo tienen un efecto positivo en la sociedad. Emplee un nivel de significancia del $5\%$ para probar si la mayoría de estadounidenses piensan que los deportes tienen un efecto positivo en la sociedad.
  12. Para una comparación de los porcentajes de piezas defectuosas producidas por dos líneas de montaje, de cada línea se seleccionaron muestras aleatorias independientes de $100$ piezas. La línea $A$ produjo $18$ piezas defectuosas en la muestra y la línea $B$ contenía $12$ piezas defectuosas. Emplee un nivel de significancia del $2\%$ para probar si una línea de montaje produce una proporción más alta de piezas defectuosas que la otra.
  13. Se tiene la creencia que las profesoras de la Universidad suelen gastar en promedio más dinero en café que los profesores en un mes. Para probar ésto, se realiza un estudio en el cual se toma una muestra aleatoria de profesoras y profesores y se registra el gasto que tuvieron durante el mes, obteniendo los siguientes resultados, en miles de pesos
    Profesores Profesoras
    Muestra 20 28
    Media muestral 33 38.5
    Desviación estándar muestral 2.9 3.1

    Use un nivel del $5\%$ de significancia para probar la hipótesis planteada. Emplee el P-valor en sus conclusión.

  14. Suponga que nos encontramos en época de elecciones, y que el responsable de la campaña política del candidato $A$ piensa en el ambiente de las últimas semanas previas a las elecciones. Él piensa que su candidato se encuentra en igual posición que su oponente, el candidato $B$, pero han ocurrido algunos reveses en forma reciente. El responsable lleva a cabo una encuesta de percepción electoral a $1500$ ciudadanos. Si de los $1500$, $737$ indican una preferencia por el candidato $A$, ¿existe alguna razón para creer que el candidato $A$ se encuentra en desventaja con relación al candidato $B$?, Use un nivel de significancia del $5\%$.
  15. Una bióloga quiere probar la hipótesis de que la envergadura media de cierta clase de insectos es $12.3_{mm}$ contra la alternativa de que no es de $12.3_{mm}$. Suponga que la envergadura de los insectos puede asumirse normal con una desviación estándar conocida e igual a $0.8_{mm}$. Si se toma una muestra aleatoria de $12$ insectos y se decide aceptar la hipótesis nula si y sólo si la media de la muestral cae entre $12.0_{mm}$ y $12.6_{mm}$,
    1. Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I.
    2. Calcule la probabilidad de cometer un error tipo II, si la media real de la envergadura de los insectos es de \(12.5_{mm}\)
    3. ¿Qué decisión estaría tomando la bióloga si obtiene de la muestra un media de \(12.9_{mm}\), y se tiene que la media real de la envergadura de los insectos es \(12.5mm\)?
    4. ¿Qué decisión estaría tomando la bióloga si obtiene de la muestra un media de \(12.9_{mm}\), y se tiene que la media real de la envergadura de los insectos es \(12.3_{mm}\)?
  16. Las calificaciones del Examen de Evaluación Escolar (SAT por sus siglas en inglés), que han bajado lentamente desde el inicio del examen, ahora han empezado a subir. Originalmente, una calificación de $500$ estaba considerada como promedio. Las calificaciones medias para el $2005$ fueron aproximadamente $520$ para el examen verbal y $508$ para el examen de matemáticas. Una muestra aleatoria de las calificaciones del examen, de $20$ alumnos de último año de una preparatoria urbana de gran tamaño, produjo las medias y desviaciones estándar citadas en la tabla siguiente
    Verbal Matemáticas
    Media muestral 505 495
    Desviación estándar muestral 57 69
    1. Suponiendo normalidad, emplee un nivel de significancia del \(10\%\) para observar si la calificación promedio del SAT verbal obtenida por los alumnos de último año es superior a \(520\) puntos.
    2. Suponiendo normalidad, emplee un nivel de significancia del \(10\%\) para observar si la calificación promedio del SAT de matemáticas obtenida por los alumnos de último año es a lo más de \(508\) puntos.
    3. Suponiendo normalidad, emplee un nivel de significancia del \(10\%\) para observar si la variabilidad en la calificación obtenida por los estudiantes en el SAT verbal y el SAT de matemáticas es la misma.
  17. Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños, de corto alcance. Suponga que por experiencia, se sabe que la probabilidad de que el sistema existente tenga un lanzamiento exitoso es del $80\%$. Si se toma una muestra de $40$ lanzamientos experimentales con el nuevo sistema y $34$ resultan exitosos. Emplee un nivel de significancia del $8\%$ para probar si el nuevo sistema es mejor que el sistema actual.
  18. Es frecuente que los químicos orgánicos purifiquen compuestos orgánicos por medio de un método conocido como cristalización fraccional. Un experimentador desea preparar y purificar $4.85$ gramos de anilina. Diez especímenes de $4.85$ gramos de anilina se prepararon y purificaron para producir acetanilida. Se obtuvieron los siguientes resultados en seco:
    3.85 3.88 3.90 3.62 3.72
    3.80 3.85 3.36 4.01 3.82
    1. Emplee un nivel de significancia del \(2\%\) para probar si la cantidad promedio de gramos de acetanilida que se puede recuperar de \(4.85\) gramos de anilina es superior a \(3.85\) gramos.
    2. Emplee un nivel de significancia del \(10\%\) para probar si al emplear \(4.85\) gramos de anilina, la proporción de experimentos que recuperan una cantidad de acetanilida superior a \(3.85\) gramos es superior al \(20\%\).
  19. Para comparar dos clases de protectores de defensas, se muestrearon $6$ de cada clase en cierta marca de auto compacto. Entonces cada auto se hizo chocar contra una pared de concreto a $5$ millas por hora, y los siguientes son los costos de las reparaciones (en dólares):
    Protector de defensas 1
    120 127 168 143 165 122
    Protector de defensas 2
    154 135 132 171 153 149

    Use el nivel $10\%$ de significancia para probar si la diferencia entre las medias de estas dos muestras es significativa.

  20. El propietario de una automóvil compacto sospecha que la distancia promedio por galón que ofrece su carro es menor que la especificada por la EPA, la cual es de $30$ millas por galón. El propietario observa la distancia recorrida por galón en $9$ ocasiones y obtiene los siguientes datos:
    28.3 31.2 29.4 27.2 30.8
    28.7 29.2 26.5 28.1

    Después de una investigación el propietario concluye que la distancia por galón es una variable aleatoria que se distribuye normal con una desviación estándar conocida de $1.4$ millas por galón. Con base en esta información,

    1. ¿Se encuentra apoyada la sospecha del propietario con un nivel de significancia del \(1\%\)? ¿Cuál es el P-valor en este caso?
    2. ¿Está de acuerdo con la afirmación de normalidad realizada por el propietario?