Distribuciones de probabilidad continua
Distribución Exponencial
Se dice que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución
Exponencial con parámetro $\beta$, si su función de densidad de
probabilidad es de la forma
\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\beta}e^{-\frac{x}{\beta}} & x\geq 0, \beta>0 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \end{align*}
Teorema
Si $X\sim Exp(\beta)$, entonces se puede probar que la media y la
varianza de la variable aleatoria $X$ están dadas por
\begin{align*} \mathbb{E}(X)=\beta \quad \quad Var(X)=\beta^2 \end{align*}
Ejercicio
Un ingeniero industrial afirma que encontró un catalizador solido que permite aumentar la velocidad de reacción química promedio, requerida en un proceso de producción de una bebida gaseosa. Dicho ingeniero asegura que con este catalizador solido la velocidad de la reacción química se reduce en promedio en \(3\) minutos, lo cual mejoraría la eficiencia de la producción en un \(28\%\). Dado lo anterior
- Cuál es la probabilidad de en un lote cualquiera, el catalizador sólido reduzca la velocidad de la reacción química en al menos \(5\) minutos?
- Cuál es la probabilidad de en un lote cualquiera, el catalizador sólido reduzca la velocidad de la reacción química en menos de \(4\) minutos, pero en más de \(2.5\) minutos?
- Cuál es el promedio y desviación estándar del tiempo que reduce el catalizador solido para la reacción química empleada para la producción de bebidas gaseosas?.
Solución
Como se aprecia en el enunciado del ejercicio, se pregunta por el tiempo de reducción y se hace referencia en que el catalizador solido reduce en promedio \(3\) minutos, sin dar más información al respecto. Debido a ésto, podríamos asumir que la distribución de los tiempos que reduce el catalizador sólido se distribuye exponencial con parámetro \(\beta=3_{min}\).
- En este caso estamos interesados en calcular la probabilidad en que el catalizador sólido reduzca la velocidad de la reacción química en al menos \(5\) minutos. Esto es \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\geq5) = \int_5^\infty \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} dx \end{align*}\] Al hacer cambio de variable tenemos que \[\begin{align*} u= \frac{x}{3} \quad \quad du = \frac{1}{3} dx \end{align*}\] Entonces, al evaluar los límites de la integral debido al cambio de variable, se tiene que cuando \(x=5\), el valor de \(u=5/3\), y cuando \(x=\infty\), el valor de \(u=\infty/3 = \infty\). Por tanto, al hacer el cambio de variable y cambiar los límites de integración tenemos que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\geq5) &= \int_{\frac{5}{3}}^\infty e^{-u} du \\ &= -e^{-u} \Bigg|_{\frac{5}{3}}^\infty \\ &= -e^{-\infty} + e^{-\frac{5}{3}} \\ &= 0 + 0.1888756 \\ &= 0.1888756 \end{align*}\] Es decir, se tendrá que la probabilidad de que el catalizador sólido encontrado por el Ingeniero Industrial, reduzca la velocidad de reacción quiímica en al menos \(5\) minutos, es del \(18.89\%\).
- Para esta pregunta, se desea conocer la probabilidad de que el catalizador sólido reduzca la velocidad de reacción química usado en la producción de bebidas gaseosas, en más de \(2.5\) minutos pero en menos de \(4\) minutos. Es decir, se desea calcular la siguiente probabilidad \[\begin{align*} \mathbb{P}(2.5<X<4) = \int_{2.5}^4 \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}} dx \end{align*}\] Al aplicar el cambio de variable usado en el punto anterio se tiene que \[\begin{align*} u= \frac{x}{3} \quad \quad du = \frac{1}{3} dx \end{align*}\] en donde, al evaluar el límite inferior y superior de la integrar en \(u\), se tendrá que cuando \(x=2.5\), \(u=2.5/3\), mientras que, cuando \(x=4\), \(u=4/3\), obteniendo con ello, la siguiente expresión \[\begin{align*} \mathbb{P}(2.5<X<4) &= \int_{\frac{2.5}{3}}^{\frac{4}{3}} e^{-u} du \\ &= -e^{-u} \Bigg|_{\frac{2.5}{3}}^{\frac{4}{3}} \\ &= -e^{-\frac{4}{3}} + e^{-\frac{2.5}{3}} \\ &= -0.2635971 + 0.4345982 \\ &= 0.1710011 \end{align*}\] Es decir, se tendrá un \(17.10\%\) de probabilidad, de que el catalizador sólido reduzca la velocidad de reacción química entre \(2.5\) y \(4\) minutos.
- Para calcular el tiempo promedio y desviación estándar de reducción que genera emplear el catalizador sólido propuesto por el Ingeniero Industrial, y sabiendo que la distribución de estos tiempos se distribuye exponencialmente con parámetro \(\beta=3\). Se emplean las ecuaciones de esperanza matemática y varianza de la distribución exponencial, tal que la esperanza será igual a \[\begin{align*} \mathbb{E}(X)&=\beta \\ &=3 \end{align*}\] y la varianza será igual a \[\begin{align*} Var(X)& = \beta^2 \\ & = 3^2 \\ & = 9 \end{align*}\] y ahora, empleando el resultado de la varianza se procede a calcular la desviación estándar, tal que \[\begin{align*} Sd(X)& = \sqrt{Var(X)} \\ & = \sqrt{9} \\ & = 3 \end{align*}\] Es decir, se espera que la reducción promedio del tiempo que reduce el catalizador sólido propuesto por el Ingeniero Industrial, sea de \(3\) minutos con una desviación estándar de \(3\) minutos.
Función de distribución acumulada Exponencial
Si $X\sim Exp(\beta)$, entonces se puede probar que la función de
distribución acumulada de $X$ está dada por
\begin{align*} F(x) = \mathbb{P}(X\leq x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1- e^{-\frac{x}{\beta}} & x\geq 0, \beta>0 \end{cases} \end{align*}
Ejercicio
Un ingeniero industrial afirma que encontró un catalizador solido que permite aumentar la velocidad de reacción química promedio, requerida en un proceso de producción de una bebida gaseosa. Dicho ingeniero asegura que con este catalizador solido la velocidad de la reacción química se reduce en promedio en \(3\) minutos, lo cual mejoraría la eficiencia de la producción en un \(28\%\). Dado lo anterior, calcule la función de distribución acumulada, y con ésta, calcule la probabilidad de que la reducción promedio en la reacción química sea de entre \(5\) y \(8\) minutos.
Solución
Como el interés es calcular inicialmente la función de distribución acumulada, entonces aplicamos la ecuación de la distribución acumulada, reemplazando a \(\beta\) por \(3\), tal que \[\begin{align*} F(x) = 1- e^{-\frac{x}{3}} \end{align*}\] Ahora, al realizar el cálculo de la probabilidad de que la reducción del tiempo que logra el catalizador sólido para la reacción química sea de entre \(5\) y \(8\) minutos, y para ello, se realiza el siguiente procedimiento, aplicando las propiedades de la función de distribución acumulada para el caso continuo, ya presentadas en la Clase 08. \[\begin{align*} \mathbb{P}(5<X<8) &= F(8) - F(5) \\ &= \left(1- e^{-\frac{8}{3}}\right) - \left(1- e^{-\frac{5}{3}}\right) \\ &= e^{-\frac{5}{3}} - e^{-\frac{8}{3}} \\ &= 0.1888756 + 0.06948345 \\ &= 0.1193922 \end{align*}\] Es decir, que se tendrá un \(11.93\%\) de probabilidad, de que el catalizador sólido, reduzca el tiempo de la reacción química en un valor entre \(5\) y \(8\) minutos.
Relación entre la distribución Exponencial y el proceso Poisson
Suponga que el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo
$t$, tiene una distribución Poisson con parámetro $\lambda$ y que el
número ocurrencias en intervalos de tiempo distintos son independientes
entre si. Entonces se tendrá que la distribución del tiempo transcurrido
entre dos eventos de Poisson sucesivos es Exponencial con parámetro
$\beta = \frac{t}{\lambda}$.
Ejercicio
En cierta ciudad el número de automoviles que excede el límite de velocidad de \(80_{km/h}\), es un intervalo de media hora, es una variable aleatoria Poisson con media de \(8.4\) automóviles. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a \(5\) minutos para que el próximo automóvil exceda el limite de velocidad de \(80_{km/h}\)?.
Solución
En este caso, nos dicen que el número de automoviles que excede el
límite de velocidad en media hora se distribuye Poisson
con parámetro \(\lambda=\mathbb{E}(X)=8.4\), pero nos preguntan por la
probabilidad de que el tiempo de espera sea menor de \(5\) minutos hasta
que transite el próximo automovil. Es decir nos preguntan, por una
variable aleatoria diferente a la inicialmente planteada, la cual puede
asumirse Exponencial, debido a que nos preguntan por un solo suceso, es
decir “el próximo automóvil”.
Para calcular el parámetro de la
distribución Exponencial, podemos emplear la relación que hay entre la
distribución Exponencial y el proceso Poisson, contruyendo una regla de
tres, para realizar el cálculo, tal que \[\begin{align*}
8.4_{Autos} &- 30_{min}\\
1_{Auto} &- a
\end{align*}\] Lo anterior significa que si, \(8.4\) automóviles
transitan en promedio en \(30\) minutos, entonces \(1\) automovil,
transitará en promedio en cuanto tiempo?. Al resolver la regla de tres,
tenemos que \[\begin{align*}
a = \frac{1_{Auto} \times 30_{min}}{8.4_{Autos}} = 3.57_{min}
\end{align*}\] El tiempo promedio que tardar en pasar un solo auto movil
es de \(3.57\), es decir, El parámetro \(\beta\) de la distribución
Exponencial es igual a \(3.57\). Y ahora, como ya conocemos el parámetro
de la distribución Exponencial, podemos realizar el cálculo de la
probabilidad de que el tiempo que tarda en hasta que el próximo
automóvil exceda el límite de velocidad sea menor a \(5\) minutos.
\[\begin{align*}
\mathbb{P}(Y<5) & = F(5) \\
& = 1 - e^{-\frac{5}{3.57}}\\
& = 1 - 0.2464589 \\
& = 0.7535411
\end{align*}\] Es decir, existe una probabilidad de \(75.35\%\), de que
el tiempo de espera sea menor a \(5\) minutos para que el próximo
automóvil exceda el limite de velocidad.
Ejercicio
Suponga que el tiempo entre llegadas de taxis a un acopio del Metro, tiene una distribución exponencial con media de \(3\) minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora lleguen más de \(15\) taxis?.
Solución
En este caso, se inicia hablando del tiempo que hay entre la llegada de dos taxis a un acopio, es decir, el tiempo que tarda en llegar el próximo taxi a un acopio. Y nos dicen que este tiempo se distribuye exponencial con parámetro \(\beta=\mathbb{E}(X)=3_{min}\). Pero nos preguntan por el número de llegadas al acopio durante media hora, es decir, nos preguntan, por una variable aleatoria diferente a la inicialmente planteada, la cual puede asumirse Poisson, debido a que nos preguntan por el número de sucesos en un periodo de tiempo. Para calcular el parámetro de la distribución Poisson, podemos emplear la relación que hay entre la distribución Exponencial y el proceso Poisson, contruyendo una regla de tres, para realizar el cálculo, tal que \[\begin{align*} 3_{min} &- 1_{taxi}\\ 30_{min} &- b \end{align*}\] Lo anterior significa que si, en promedio tarda \(3\) minutos en llegar \(1\) taxi al acopio, entonces, cuantos taxis llegarán al acopio en un intervalo de \(30\) minutos?. Al resolver la regla de tres, tenemos que \[\begin{align*} b = \frac{1_{taxi} \times 30_{min}}{3_{min}} = 10_{taxis} \end{align*}\] El número promedio de taxis que llegan al acopio en un intervalo de \(30\) minutos será de \(10\) taxis, es decir, el parámetro \(\lambda\) de la distribución Poisson es igual a \(10\). Y ahora, como ya conocemos el parámetro de la distribución Poisson, podemos realizar el cálculo de la probabilidad de que lleguen más de \(15\) taxis en media hora. \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>15) & = 1 - \mathbb{P}(X\leq15) \\ & = 1 - \sum_{0}^{15} \frac{e^{-10} 10^{x}}{x!}\\ & = 1 - 0.9512596 \\ & = 0.0487404 \end{align*}\] Es decir, existe una probabilidad del \(4.87\%\), de que en un intervalo de media hora lleguen más de \(15\) taxis al acopio del Metro.
Propiedad de carencia de memoria
Suponga que $X$ es una variable aleatoria tal que
$X\sim Exp(\beta)$, entonces sean dos reales positivos $a$ y $b$,
entonces se puede probar que
$\mathbb{P}(X\geq a+b | x \geq b) = \mathbb{P}(X\geq a)$$\mathbb{P}(X\leq a+b | x \geq b) = \mathbb{P}(X\leq a)$
Ejercicio
Suponga que se realiza un estudio en un Call Center, y se encuentra que el tiempo promedio entre llamadas es de \(2\) minutos. Entonces, si han pasado ya \(2\) minutos y no ha entrado ninguna llamada al Call Center, cuál es la probabilidad de que tarde al menos \(1.5\) minutos más en entrar la próxima llamada?.
Solución
En este ejercicio, nos preguntan por una probabilidad condicional, debido a que nos dicen que ya han pasado \(2\) minutos y no ha entrado ninguna llamada, y nos preguntan por la probabilidad de que la próxima llamada tarde menos de \(1.5\) minutos más. Al aplicar el procedimiento para resolver la probabilidad condicional se tendrá que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\geq3.5|X>1.5) & = \frac{\mathbb{P}(X\geq3.5 \cap X>1.5)}{\mathbb{P}(X>1.5)} \\ & = \frac{\mathbb{P}(X\geq3.5)}{\mathbb{P}(X>1.5)} \\ & = \frac{\mathbb{P}(X\geq3.5)}{\mathbb{P}(X>1.5)} \\ & = \frac{1 - \mathbb{P}(X<3.5)}{1 - \mathbb{P}(X\leq1.5)} \\ & = \frac{1 - F(3.5)}{1 - F(1.5)} \\ & = \frac{1 - \left(1 - e^{-\frac{3.5}{2}}\right)}{1 - \left(1 - e^{-\frac{1.5}{2}}\right)} \\ & = \frac{e^{-\frac{3.5}{2}}}{e^{-\frac{1.5}{2}}} \\ & = 0.3678794 \end{align*}\] Ahora, si empleamos la propiedad de carencia de memoria de la distribución Exponencial, se tendrá que, dicha probabilidad peude resolverse de forma más rápida, de la forma \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\geq3.5|X>1.5) & = \mathbb{P}(X\geq2 + 1.5 |X>1.5) \\ & = \mathbb{P}(X\geq2) \\ & = 1 - \mathbb{P}(X<2) \\ & = 1 - F(2) \\ & = 1 - \left(1 - e^{-\frac{2}{2}}\right) \\ & = e^{-1} \\ & = 0.3678794 \end{align*}\] Obteniendo el mismo resultado. Ahora la interpretación del resultado es que, si ya han pasado \(2\) minutos y no ha entrado ninguna llamada al Call Center, la probabilidad de que tarde almenos \(1.5\) minutos más en entrar la próxima llamada será de \(36.78\%\).