Funciones de probabilidad continuas

Se dice que la función $f(x)$ es una función de densidad de probabilidad (fdp) de la variable aleatoria continua $X$, definida en el conjunto de números reales si

  1. $f(x)\geq0$ para todo $x \in \mathbb{R}$
  2. $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx=1$
  3. $\int_{a}^b f(x) dx = \mathbb{P}(a<X<b)$

Ejercicio

Suponga que el tiempo que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo, es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por \[\begin{align*} f(x)=x^2(1-x)^2 \quad \quad 0<x<1 \end{align*}\] siendo \(X\) una variable aleatoria que representa el tiempo en horas que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo. A partir de dicha función

  1. Verifique si la función de densidad de probabilidad está bien definida? De no estarlo, multiplique la función por una constante \(k\) para que quede bien definida.
  2. Calcule la probabilidad de que el tiempo que tarda la serie en cumplir un ciclo sea de \(30\) minutos a \(50\) minutos.

Solución

  1. Para verificar si la función está bien definida, es necesario en primer lugar observar si para todo \(X\) en el dominio definido, la función de probabilidad de densidad de probabilidad es mayor o igual a \(0\). Para ello supongamos \(3\) números diferentes, \(0.1\) \(0.4\) y \(0.7\), los cuales vamos a evaluar en la función de densidad. \[\begin{align*} f(0.1)=(0.1)^2(1-0.1)^2=0.0081 \\ f(0.4)=(0.4)^2(1-0.4)^2=0.0576 \\ f(0.7)=(0.7)^2(1-0.7)^2=0.0441 \end{align*}\] La idea entonces, es apreciar que para todo \(0<x<1\), \(f(x)\geq0\).
    En segundo lugar, para observar si la función de densidad de probabilidad está bien definida, es necesario observar si al integrar dicha función su resultado es igual a \(1\), es decir, \[\begin{align*} \int_{-\infty}^\infty f(x)dx & = \int_{-\infty}^0 0\; dx + \int_{0}^1 x^2(1-x)^2\; dx + \int_{1}^\infty 0\; dx \\ & = \int_{0}^1 x^2(1-x)^2\; dx \\ & = \int_{0}^1 x^2(1^2-2x+x^2)\; dx \\ & = \int_{0}^1 x^2-2x^3+x^4\; dx \\ & = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right)\Bigg|^1_0 \\ & = \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^5}{5} \right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^5}{5} \right) \\ & = \frac{1}{30} \end{align*}\] Entonces, como la integral no da exactamente \(1\), se tendrá que multiplicar dicha función de densidad por una constante \(k\) que haga que su resultado sea \(1\), es decir, si multiplicamos la función por \(k=30\), se tendrá como resultado que la integral será igual a \(1\), ya que, \[\begin{align*} 30\int_{-\infty}^\infty f(x)dx & = 30 \int_{0}^1 x^2(1-x)^2\; dx \\ & = 30 \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^5}{5} \right) \\ & = \frac{30}{30} \\ & = 1 \end{align*}\] Y en consecuencia, se tendrá que la nueva función de densidad de probabilidad está bien definida. \[\begin{align*} f(x) = 30x^2(1-x)^2 \quad \quad 0<x<1 \end{align*}\]
  2. Dado que la función de densidad está en horas, será necesario pasar los minutos a horas, en donde, al aplicar una regla de tres para cada límite de la integral que nos piden se tendrá que \[\begin{align*} 60_\text{min} &- 1_\text{hora} & \quad \quad & 60_\text{min} - 1_\text{hora}\\30_\text{min} &- a & \quad \quad & 50_\text{min} - b \end{align*}\] Entonces, al realizar la operación encontramos que los límites de la integral serán \[\begin{align*}a&=\frac{30_\text{min}\times1_{\text{hora}}}{60 _\text{min}}=0.5_\text{horas} \\ b&=\frac{50_\text{min}\times1_{\text{hora}}}{60 _\text{min}}=0.8333_\text{horas} \end{align*}\] Ahora, al realizar la integral tendremos que \[\begin{align*} \mathbb{P}(0.5 < X < 0.8333) & = \int_{0.5}^{0.8333} 30 x^2(1-x)^2\; dx \\ & = 30\int_{0.5}^{0.8333} x^2-2x^3+x^4\; dx \\ & = 30\left(\frac{x^3}{3} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5} \right)\Bigg|^{0.8333}_{0.5} \\ & = 30 \left[\left(\frac{0.8333^3}{3} - \frac{0.8333^4}{2} + \frac{0.8333^5}{5} \right) - \left(\frac{0.5^3}{3} - \frac{0.5^4}{2} + \frac{0.5^5}{5} \right)\right] \\ & = 0.4645 \end{align*}\] En consecuencia, se tendrá una probabilidad del \(46.45\%\) de que el tiempo que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo estará entre \(30\) minutos y \(50\) minutos.

Función de distribución acumulada caso continuo

La función de distribución acumulada (fda) denotada por $F(x)$, para una variable aleatoria continua $X$ con distribución de probabilidad $f(x)$ es de la forma \begin{align*} F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt \quad \quad \end{align*}

para cualquier $x$, $F(x)$ es el área izquierda bajo la curva de densidad.

Nota: Si se quieren calcular probabilidades con la función de distribución acumulada en el caso continuo, entonces, si $a$ y $b$ son dos números constantes, deberán tenerse en cuenta las siguientes reglas

  • $\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \mathbb{P}(X\leq b) - \mathbb{P}(X\leq a) = F(b) - F(a)$
  • $\mathbb{P}(X \geq a) = 1 - \mathbb{P}(X\leq a) = 1 - F(a)$
  • $\mathbb{P}(X \leq b) = F(b)$

Nota: Recordar que en el caso continuo, las probabilidad con o sin la igualdad son equivalentes, y por tanto, solo se escriben las tres reglas anteriores para generalizar todos los casos.

Ejercicio

Suponga que el tiempo que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo, es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por \[\begin{align*} f(x)=30x^2(1-x)^2 \quad \quad 0<x<1 \end{align*}\] siendo \(X\) una variable aleatoria que representa el tiempo en horas que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo. A partir de dicha función

  1. Calcule la función de distribución acumulada \(F(x)\).
  2. Calcule la probabilidad de que el tiempo que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo, se encuentre entre \(30\) minutos y \(50\) minutos, mediante el uso de \(F(x)\).

Solución

  1. Para encontrar la función de distribución acumulada a partir de una función de densidad de probabilidad, es necesario realizar la integral de la función de densidad, de la forma \[\begin{align*} F(x)& = \int_{-\infty}^x f(t)dt \\ & = \int_{-\infty}^0 0dt + \int_{0}^x 30t^2(1-t)^2 dt \\ & = 30\int_{0}^{x} t^2-2t^3+t^4\; dt \\ & = 30\left(\frac{t^3}{3} - \frac{2t^4}{4} + \frac{t^5}{5} \right)\Bigg|^{x}_{0} \\ & = 30\left[\left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5} \right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^5}{5} \right)\right] \\ F(x)& = 30\left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5} \right) \end{align*}\]
  2. Dado que el interés es calcular la probabilidad de que el tiempo que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo, se encuentre entre \(30\) minutos y \(50\) minutos, entonces se tendrá que la probabilidad de interés, en horas, es la siguiente \[\begin{align*} \mathbb{P}(0.5 < X < 0.8333) \end{align*}\] Entonces, siguiendo las reglas anteriormente expuestas, dicha probabilidad puede calcularse mediante \[\begin{align*} \mathbb{P}(0.5 < X < 0.8333) & = F(0.8333) - F(0.5) \\ & = 30\left(\frac{0.8333^3}{3} - \frac{0.8333^4}{2} + \frac{0.8333^5}{5} \right) - 30\left(\frac{0.5^3}{3} - \frac{0.5^4}{2} + \frac{0.5^5}{5} \right) \\ & = 0.4645 \end{align*}\] y por tanto, se tendrá que la probabilidad de que el tiempo que tarde la serie financiera en cumplir un ciclo estará entre \(30\) minutos y \(50\) minutos, es de \(46.45\%\).

Esperanza matemática caso continuo

Si $x$ es una variable aleatoria con fdp $f(x)$, entonces la media o valor esperado de la variable aleatoria se denota por $\mathbb{E}(X)$ o $\mu$ está dada por \begin{align*} \mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty xf(x) dx \end{align*}

Ejercicio

Suponga que el tiempo que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo, es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por \[\begin{align*} f(x)=30x^2(1-x)^2 \quad \quad 0<x<1 \end{align*}\] siendo \(X\) una variable aleatoria que representa el tiempo en horas que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo. Calcule el valor esperado en que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo.

Solución

Conocida la función de densida de probabilidad, se procede a calcular el valor esperado del tiempo que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo, tal que \[\begin{align*} \mathbb{E}(X)&= \int_{0}^1x\,f(x) dx\\ &= \int_{0}^1x\,30x^2(1-x)^2 dx\\ &= 30\int_{0}^1x^3\,(1-x)^2 dx\\ &= 30 \int_{0}^1x^3\,(1-2x+x^2) dx\\ &= 30 \int_{0}^1x^3-2x^4+x^5 dx\\ &= 30 \left(\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^5}{5} + \frac{x^6}{6}\right)\Bigg|_0^1 \\ &= 30 \left[\left(\frac{1^4}{4} - 2\frac{1^5}{5} + \frac{1^6}{6}\right) - \left(\frac{0^4}{4} - 2\frac{0^5}{5} + \frac{0^6}{6}\right)\right] \\ &= 30 \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) \\ &= 0.5 \end{align*}\] Y por tanto, se tendrá que el tiempo esperado que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo será \(0.5\) horas, la cual al pasarla a minutos mediante la regla de tres \[\begin{align*} 1_\text{hora} &- 60_\text{min}\\0.5_\text{horas} &- a \end{align*}\] se tendrá que \[\begin{align*} a= \frac{0.5_\text{horas}\times 60_\text{min}}{1_\text{hora}} = 30_\text{min} \end{align*}\] el tiempo esperado que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo será de \(30\) minutos.

Propiedades de la esperanza matemática

Sea $a$ y $b$ dos números constantes (reales) y $X$ una variable aleatoria, entonces se tiene que

  • $\mathbb{E}(a)=a$
  • $\mathbb{E}(X+b)=\mathbb{E}(X)+b$
  • $\mathbb{E}(aX)=a\mathbb{E}(X)$
  • si $m(X)$ es una función de $X$, entonces

\begin{align*} \mathbb{E}(m(X))=\int_{-\infty}^\infty m(x)f(x) \end{align*}

Ejercicio

Suponga que el tiempo que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo, es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por \[\begin{align*} f(x)=30x^2(1-x)^2 \quad \quad 0<x<1 \end{align*}\] siendo \(X\) una variable aleatoria que representa el tiempo en horas que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo. Calcule

  1. \(\mathbb{E}(60X)\)
  2. \(\mathbb{E}(X+40)\)
  3. \(\mathbb{E}(X^2)\)

Solución

Dado que la función de densidad de probabilidad estádada por \[\begin{align*} f(x)=30x^2(1-x)^2 \quad \quad 0<x<1 \end{align*}\]

  1. se procede a calcular \(\mathbb{E}(60X)\), tal que \[\begin{align*} \mathbb{E}(60X)&= \int_{0}^160x\,f(x) dx\\ &= \int_{0}^1(60x)\,30x^2(1-x)^2 dx\\ &= 1800\int_{0}^1x^3\,(1-x)^2 dx\\ &= 1800 \int_{0}^1x^3\,(1-2x+x^2) dx\\ &= 1800 \int_{0}^1x^3-2x^4+x^5 dx\\ &= 1800 \left(\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^5}{5} + \frac{x^6}{6}\right)\Bigg|_0^1 \\ &= 1800 \left[\left(\frac{1^4}{4} - 2\frac{1^5}{5} + \frac{1^6}{6}\right) - \left(\frac{0^4}{4} - 2\frac{0^5}{5} + \frac{0^6}{6}\right)\right] \\ &= 1800 \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) \\ &= 30 \end{align*}\] Similarmente, al usar la propiedad \(\mathbb{E}(aX)=a\mathbb{E}(X)\), sabiendo que \(\mathbb{E}(X)=0.5\) se tendrá que \[\begin{align*} \mathbb{E}(60X)&= 60\mathbb{E}(X) \\ &= 60(0.5) \\ &= 30 \\ \end{align*}\]
  2. Para el cálculo de \(\mathbb{E}(X+40)\), se procede a la aplicación de la ecuación de esperanza matemática, tal que \[\begin{align*} \mathbb{E}(X+40)&= \int_{0}^1(x+40)\,f(x) dx\\ &= \int_{0}^1(x+40)\,30x^2(1-x)^2 dx\\ &= 30\left[\int_{0}^1x^3\,(1-x)^2 dx + 40\int_{0}^1x^2\,(1-x)^2 dx\right]\\ &= 30 \left[\int_{0}^1x^3\,(1-2x+x^2) dx + 40\int_{0}^1x^2\,(1-2x+x^2) dx\right]\\ &= 30 \left[\int_{0}^1x^3-2x^4+x^5 dx + 40\int_{0}^1x^2-2x^3+x^4 dx\right]\\ &= 30 \left[\left(\frac{x^4}{4} - 2\frac{x^5}{5} + \frac{x^6}{6}\right)\Bigg|_0^1 + 40\left(\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_0^1\right] \\ &= 30 \left[\left(\frac{1^4}{4} - 2\frac{1^5}{5} + \frac{1^6}{6}\right) - \left(\frac{0^4}{4} - 2\frac{0^5}{5} + \frac{0^6}{6}\right) + 40\left(\frac{1^3}{3} - 2\frac{1^4}{4} + \frac{1^5}{5}\right) - 40\left(\frac{0^3}{3} - 2\frac{0^4}{4} + \frac{0^5}{5}\right)\right] \\ &= 30 \left[\left(\frac{1}{4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) + 40\left(\frac{1}{3} - \frac{2}{4} + \frac{1}{5}\right)\right] \\ &= 40.5 \end{align*}\] Ahora, aplicando la propiedad \(\mathbb{E}(X+b)=\mathbb{E}(X)+b\), se tendrá que dicha esperanza puede calcularse en dos lineas, tal que \[\begin{align*} \mathbb{E}(X+40)&= \mathbb{E}(X) + 40\\ &= 0.5 + 40 \\ &= 40.5 \\ \end{align*}\]
  3. Para el cálculo de la \(\mathbb{E}(X^2)\), se tendrá que en este caso \(m(X) = X^2\), y por tanto, al aplicar la propiedad \(\mathbb{E}(m(X))=\int_{-\infty}^\infty m(x)f(x) dx\) tendremos que \[\begin{align*} \mathbb{E}(X^2)&= \int_{0}^1x^2\,f(x) dx\\ &= \int_{0}^1x^2\,30x^2(1-x)^2 dx\\ &= 30\int_{0}^1x^4\,(1-x)^2 dx\\ &= 30 \int_{0}^1x^4\,(1-2x+x^2) dx\\ &= 30 \int_{0}^1x^4-2x^5+x^6 dx\\ &= 30 \left(\frac{x^5}{5} - 2\frac{x^6}{6} + \frac{x^7}{7}\right)\Bigg|_0^1 \\ &= 30 \left[\left(\frac{1^5}{5} - 2\frac{1^6}{6} + \frac{1^7}{7}\right) - \left(\frac{0^5}{5} - 2\frac{0^6}{6} + \frac{0^7}{7}\right)\right] \\ &= 30 \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \frac{1}{7}\right) \\ &= 0.2857142857 \end{align*}\]

Varianza caso continuo

Sea $X$ una variable aleatoria con fdp $f(x)$, entonces si $m(X) = (X - \mathbb{E}(X))^2$, se tendrá que la varianza de $X$ que se denota $Var(X)$ o $\sigma^2$ estará dada por \begin{align*} Var(X) = \mathbb{E}\left[\left(X-\mathbb{E}(X)\right)^2\right]=\int_{-\infty}^\infty(x-\mathbb{E}(X))^2f(x) dx \end{align*}

Similar al caso discreto, se puede demostrar a partir de la ecuación anterior, que una alternativa para el cálculo de la $Var(X)$ es de la forma

\begin{align*} Var(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 \end{align*}

además, la raíz cuadrada de la varianza de $X$ se llama desviación estándar de $X$, se denota por $Sd(X)$ o $\sigma$ y se define como \begin{align*} Sd(X) = \sqrt{Var(X)} \end{align*}

Ejercicio

Suponga que el tiempo que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo, es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por \[\begin{align*} f(x)=30x^2(1-x)^2 \quad \quad 0<x<1 \end{align*}\] siendo \(X\) una variable aleatoria que representa el tiempo en horas que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo.

  1. Calcule la \(Var(X)\).
  2. Calcule la \(Sd(X)\).

Solución

  1. A partir de las ecuaciones anteriormente presentadas, se tiene que la \(Var(X)\), puede calcularse a partir de la \(\mathbb{E}(X^2)=0.2857142857\) y la \(\mathbb{E}(X)=0.5\). Entonces basados en estos valores se tendrá que la varianza del tiempo en horas que tarda la serie financiera en cumplir un ciclo está dada por \[\begin{align*} Var(X)&=\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 \\ &=0.2857142857 - (0.5)^2 \\ &=0.2857142857 - 0.25 \\ &=0.0357142857 \end{align*}\] es decir, se tendrá que la varianza del tiempo que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo es de \(0.0357142857\) horas\(^2\).
  2. Ahora bien, dado que la varianza no tiene una interpretación aplicable al conjunto de datos, entonces, se procede a calcular la desviación estándar, la cual es posible calcular a partir del valor de la \(Var(X)=0.0357142857\), tal que \[\begin{align*} Sd(X) &= \sqrt{Var(X)} \\ &= \sqrt{0.0357142857} \\ &= 0.1889822 \end{align*}\] y en consecuencia, se tendrá que el tiempo esperado que tarda una serie financiera en cumplir un ciclo será \(0.5\) horas, con una desviación estándar de \(0.1889822\) horas. Esto es, un promedio de \(30\) minutos con una desviación de \(11.33893\).

Propiedades de la varianza

Sea $a$ y $b$ números reales (constantes) y $X$ una variable aleatorias, entonces se tiene que

  1. $Var(a)=0$
  2. $Var(aX)=a^2Var(X)$
  3. $Var(a+bX) = b^2Var(X)$