Introducción a modelos ARIMA
En alguno casos, cuandos nos enfrentamos a diferentes series temporales puede ocurrir situaciones en las cuales la serie de interés no posee un comportamiento estacionario en covarianza, debido a que éstas pueden poseer estructuras de tendencia, estacionalidad o variabilidad no constante, que hacen que los métodos de ajuste de modelos ARMA no sea adecuado.
Debido a lo anterior, en ocasiones la respuesta a tales estructuras, es emplear transformaciones que permitan llevar a la serie temporal a una estructura estacionaria, para así poder modelarla.
Operador de diferencias
El operador de diferencias denotado por el simbolo $\Delta$, es aquel
que calcula la diferencia entre la serie original y la serie rezagada un
periodo, tal que si se requiere calcula la primera diferencia del
$Y_t$, entonces se simbolizamos esta como $\Delta Y_t$,y la
calculamos como la diferencia entre $Y_t$ con $Y_{t-1}$ para
$t=2,\ldots,T$.
Por su parte, la segunda diferencia de $Y_t$, se simboliza por
$\Delta^2 Y_t$ y estará dado por la diferencia entre $\Delta Y_t$ y
$\Delta Y_{t-1}$ para $t=3,\ldots,T$. en donde se puede observar que
\begin{align*} \Delta^2 Y_t & = \Delta(\Delta Y_t) \\ & = \Delta Y_t - \Delta Y_{t-1} \\ & = Y_t- 2(Y_{t-1})+Y_{t-2} \\ & = (1-L)^2 Y_t \end{align*}
siendo $L$ el operador de rezagos explicado en la clase Clase
08.
En general, se tendrá que un proceso diferenciado de orden $d$ se
simbolizará por $\Delta^d Y_t = $ y estará dado por
\begin{align*} \Delta^d Y_t = (1-L)^d Y_t \end{align*}
Además, si al diferenciar una serie temporal $d$ veces, con
$d \in \mathbb{Z}^+$, y se obtiene un serie estacionaria como
resultado, entonces se podrá decir que el proceso original es homogéneo
de orden $d$.
Procesos integrados
Diebold (2007, p. 289) define a los procesos
integrados como aquellas series $Y_t$ que no poseen una estructura
estacionaria, pero que al ser diferenciadas, obtienen dicha estructura.
Dado lo anterior, se tendrá que si una serie temporal requiere una (1)
diferencia para obtener una estructura estacionaria, entonces la serie
se denomina como integrada de orden $1$ y se denotará por $I(1)$. En
general, si la serie temporal requiere ser diferenciada $d$ veces para
obtener una estructura estacionaria, con $d\in \mathbb{Z}^+$, entonces
se dirá que la serie se denomina como integrada de orden $d$ y es
denotada como $I(d)$.
Modelos autorregresivos integrados de media móvil (ARIMA)
Se dice que una serie de tiempo $\widetilde{Y}_t=Y_t-\mu$ posee una
estructura ARIMA(p,d,q) si se tiene que al realizar la $d$-ésima
diferencia, se obtiene que $\Delta^d Y_t$posee la estructura de un
proceso ARMA estacionario, tal que
\begin{align*} \Phi_p (L) \Delta^d \widetilde{Y}_t = \Theta_q (L)\varepsilon_t \end{align*}
donde $\Phi_p(z) = 1 - \sum_{j=1}^p\phi_j z^j$ y
$\Theta_q(z) = 1 + \sum_{j=1}^q\theta_j z^j$ son los polinomios de
rezagos autorregresivo y de medias móviles, respectivamente, cada uno
con módulo mayor a 1, $\Delta^d=(1-L)^d$ es el operador de
diferencias, con $L$ el operador de rezagos y
$\varepsilon_t \sim RB(0, \sigma_{\varepsilon}^2)$.
De acuerdo a lo anterior, se podrán derivar dos casos particulares de
los modelos ARIMA(p,d,q). El primero será un proceso en el cual se tiene
un orden autorregresivo $p = 0$, en este caso se tendrá lo que se
conoce como un proceso integrado de media móvil ARIMA(0,d,q) = IMA(d,q),
mientras el segundo será un proceso en el cual se tiene un orden de
media móvil $q = 0$, obteniendo lo que se conoce como un proceso
autorregresivo integrado ARIMA(p,d,0)=ARI(p,d).
Raices unitarias
Suponga un modelo ARMA(p,q) tal que
\begin{align*} \Phi_p (L)\widetilde{Y}_t = \Theta_q (L)\varepsilon_t \end{align*}
con $\varepsilon_t \sim RB(0, \sigma_{\varepsilon}^2)$, entonces, si
una de las $p$ raices de la ecuación
$\Phi_p(z) = 1 - \sum_{j=1}^p=\phi_j z^j = 0$ es $z = 1$ entonces se
tendrá que $Y_t$ tiene una raíz unitaria.
En dicho caso, podremos factorizar el polinomio $\Phi_p(z)$ como
$\Phi_p(z) = (1-z)\Phi_{p-1}(z)$, un polinomio de grado $p-1$,
obteniendo con ello
\begin{align*} \Phi_{p-1}(L)(1-L)\widetilde{Y}_t = \Theta_q (L)\varepsilon_t \end{align*}
Entonces, si $Y_t\sim ARMA(p,q)$ con una raíz unitaria, entonces se
tendrá que $\Delta Y_t\sim ARMA(p-1,q)$ o equivalentemente
$Y_t\sim ARIMA(p,1,q)$, siendo $d=1$.
Prueba Dickey-Fuller aumentada
Con el fin de identificar si una serie temporal $Y_t$ posee raices
unitarias, se introduce la prueba Dickey-Fuller Aumentada, la cual
asume que es posible aproximar a $Y_t\sim AR(p)$ asumiendo tres casos,
media cero, media diferente de cero y tendencia lineal.
el primer tipo, es un modelo lineal con media cero y sin tendencia
lineal con respecto al tiempo.
\begin{align*} \Delta Y_t = \gamma Y_{t-1} + \sum_{j=2}^p \phi_j \Delta Y_{T-j+1} + \varepsilon_t \end{align*}
con $\gamma = \phi_1 - 1$. Entonces is hay raices unitarias se
cumplirá que $\phi_1 = 1$ o equivalentemente $\gamma=0$.
El segundo tipo, es un modelo lineal con media diferente de cero y sin
tendencia lineal respecto al tiempo.
\begin{align*} \Delta Y_t = \mu + \gamma Y_{t-1} + \sum_{j=2}^p \phi_j \Delta Y_{T-j+1} + \varepsilon_t \end{align*}
y el tercer tipo, es un modelo lineal con media diferente de cero y con
tendencia lineal respecto al tiempo.
\begin{align*} \Delta Y_t = \mu + \beta t + \gamma Y_{t-1} + \sum_{j=2}^p \phi_j \Delta Y_{T-j+1} + \varepsilon_t \end{align*}
En general se buscará probar el siguiente juego de hipótesis
\begin{align*} H_0: Y_t \text{ posee raices unitarias (no es estacionaria)} \\ H_1: Y_t \text{ no posee raices unitarias (es estacionaria)} \end{align*}
la cual, como se señaló es equivalente a probar
\begin{align*} H_0: \gamma = 0 \\ H_1: \gamma < 0 \end{align*}
El estadístico de prueba, se define entonces como
\begin{align*} \tau = \frac{\hat{\gamma}}{se(\hat{\gamma})} \end{align*}
siendo $\hat{\gamma}$ el coeficiente estimado, y $se(\hat{\gamma})$
el error estándar del coeficiente estimado. Además, el P-valor de la
prueba se define como
con un P-valor dado por
\begin{align*} \text{P-valor} = \mathbb{P}(\tau<\tau_\alpha) \end{align*}
La prueba Dickey-Fuller puede realizarse en R, mediante la
función adf.test() de la librería aTSA o la función adfTest() de
la librería fUnitRoots o la función adf.test() de la librería
tseries.
Alternativamente, puede observarse el número de diferencias recomendadas
R mediante la función ndiffs de la librería forecast con
argumento test="adf".
Prueba Phillips-Perron
La prueba Phillips-Perron puede realizarse en R, mediante la
función pp.test de la librería aTSA.
Alternativamente, puede observarse el número de diferencias recomendadas
R mediante la función ndiffs de la librería forecast con
argumento test="pp".
Prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin
La prueba Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin puede realizarse en
R, mediante la función kpss.test de la librería aTSA.
Alternativamente, puede observarse el número de diferencias recomendadas
R mediante la función ndiffs de la librería forecast con
argumento test="kpss".
Ajuste de modelo ARIMA
Una vez identificado el orden apropiado de diferenciación, d, asociado a
la serie de tiempo $Y_t$, se realiza el mismo procedimiento explicado
en la Clase
09
para identificar el orden p y q que posee la serie de diferencias.
Finalmente, identificados satisfactoriamente los ordenes p,d,q del modelo ARIMA, es posible realizar la estimación del modelo ARIMA(p,d,q) para la serie original, mediante el procedimiento explicado en la Clase 09, junto con la validación de los correspondientes supuestos que debe cumplir el modelo ajustado, los cuales se fueron explicados en la Clase 10.
Bibliografía
Diebold, F. (2007). Elements of forecasting. Thomson South-Westem.