Series estacionales
Suavizamiento exponencial de Holt-Winters.
Este método de suavización es una extensión del método de suavización exponencial de Holt, el cual permite representar mejor los datos y reducir el error de pronóstico, cuando la serie de interés posee un componente estacional.
Este método también es conocido como suavizamiento exponencial triple, y se basa en la aplicación del procedimiento de suavizamiento exponencial, a tres de las componentes de la serie de tiempo, a saber, nivel, tendencia y estacionalidad.
La suavización exponencial de Holt-Winters, puede ser empleada cuando la variación estacional es constante o no constante. En el primer caso, cuando la variación estacional de la serie es constante, se emplea el método de suavización exponencial Holt-Winters aditivo, mientras que, en el segundo caso, cuando la variación estacional de la serie no es constante, se emplea el método de suavización exponencial Holt-Winters multiplicativo.
Suavizamiento exponencial de Holt-Winters aditivo
Para la aplicación de este método para el caso aditivo es necesario estimar las siguientes cuatro ecuaciones
- La serie suavizada exponencialmente o nivel actual estimado
\begin{align*} a_t=\alpha (Y_t-S_{t-s}) + (1 - \alpha) (a_{t-1} + b_{t-1}) \end{align*}
- La estimación de la tendencia
\begin{align*} b_t=\beta (a_t-a_{t-1}) + (1 - \beta) b_{t-1} \end{align*}
- la estimado de estacionalidad
\begin{align*} S_t=\gamma (Y_t-a_t) + (1 - \gamma) S_{t-s} \end{align*}
- El modelo a estimar
\begin{align*} \hat{Y}_{t+p}=a_t + b_t p + S_{t-s+p} \end{align*}
donde $a_t$ es la estimación del intercepto o del nuevo nivel del
conjunto de observaciones en el periodo $t$, $\alpha$ es la
constante de suavización para el intercepto, tal que $0<\alpha<1$,
$b_t$ es la estimación de la tendencia en el periodo $t$, $\beta$
es la constante de suavización para la tendencia, tal que $0<\beta<1$,
$S_t$ es el estimado de la estacionalidad, $\gamma$ es la constante
de suavización para el estimado de estacionalidad, tal que
$0<\gamma<1$, y $p=1,2,\ldots$ es el número de periodos que se
desean estimar o pronosticar.
Hanke and Wichern (2010, p. 132) señala que al igual
que los pesos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ pueden seleccionarse
subjetivamente o generarse al minimizar una medida de error de
pronóstico, como el $MSE$. El enfoque más común para determinar estos
valores es usar un algoritmo de optimización para obtener las constantes
óptimas de suavización.
Para la selección de los primeros valores asociados a $a_1$, $b_1$ y
$S_t$, es necesario inicializar después de completado un período
estacional $s$, y seleccionando uno de los tres métodos siguientes
$a_s = Y_1$,$b_s = 0$y$S_i = 1$.$a_s = \frac{1}{s}\sum_{i=1}^{s}Y_i$,$b_s = \bar{Y}_{2,s} - \bar{Y}_{1,s}$y$S_i = Y_i - a_s$.- Regresión lineal con variables indicadoras por estacionalidad, para luego usar la constante de esta ecuación como el estimado del nivel, la pendiente de la regresión como el estimado de la tendencia y los coeficientes de las variables indicadoras como los estimados de la estacionalidad.
con $i = 1,\ldots, s$, siendo $s$ el índice de estacionalidad.
Una vez definido el método para la selección del valor inicial, puede realizarse el ajuste de las observaciones para la suavización de Holt-winters aditivo de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{t+1}=a_t + b_t + S_{t-s+1} \end{align*}
mientras que, el ajuste de pronósticos se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{T+h}=a_T + b_T h + S_{T-s+h} \end{align*}
siendo $h$ el número de periodos a pronosticar.
Suavizamiento exponencial de Holt-Winters multiplicativo
Similar al caso aditivo, para el multiplicativo, es necesario estimar las siguientes cuatro ecuaciones
- La serie suavizada exponencialmente o nivel actual estimado
\begin{align*} a_t=\alpha \left(\frac{Y_t}{S_{t-s}}\right) + (1 - \alpha) (a_{t-1} + b_{t-1}) \end{align*}
- La estimación de la tendencia
\begin{align*} b_t=\beta (a_t-a_{t-1}) + (1 - \beta) b_{t-1} \end{align*}
- la estimado de estacionalidad
\begin{align*} S_t=\gamma \left(\frac{Y_t}{a_t}\right) + (1 - \gamma) S_{t-s} \end{align*}
- El modelo a estimar
\begin{align*} \hat{Y}_{t+p}=(a_t + b_t p)S_{t-s+p} \end{align*}
donde $a_t$ es la estimación del intercepto o del nuevo nivel del
conjunto de observaciones en el periodo $t$, $\alpha$ es la
constante de suavización para el intercepto, tal que $0<\alpha<1$,
$b_t$ es la estimación de la tendencia en el periodo $t$, $\beta$
es la constante de suavización para la tendencia, tal que $0<\beta<1$,
$S_t$ es el estimado de la estacionalidad, $\gamma$ es la constante
de suavización para el estimado de estacionalidad, tal que
$0<\gamma<1$, y $p=1,2,\ldots$ es el número de periodos que se
desean estimar o pronosticar.
Igual al caso aditivo, se presenta lo señalado por Hanke and Wichern
(2010, p. 132) señala que al igual que los pesos
$\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ pueden seleccionarse subjetivamente o
generarse mediante minimización de alguna de las medida de error.
Además, para la selección de los valores iniciales de $a_s$, $b_s$ y
$S_i$, es necesario inicializar la estimación después de completar un
período estacional $s$, para luego seleccionar uno de los tres métodos
siguientes
$a_s = Y_1$,$b_s = 0$y$S_i = 1$.$a_s = \frac{1}{s}\sum_{i=1}^{s}Y_i$,$b_s = \bar{Y}_{2,s} - \bar{Y}_{1,s}$y$S_i = \frac{Y_i}{a_s} $.- Regresión lineal con variables indicadoras por estacionalidad, para luego usar la constante de esta ecuación como el estimado del nivel, la pendiente de la regresión como el estimado de la tendencia y los coeficientes de las variables indicadoras como los estimados de la estacionalidad.
con $i = 1,\ldots, s$, siendo $s$ el índice de estacionalidad.
Una vez definido el método para la selección del valor inicial, puede realizarse el ajuste de las observaciones para la suavización de Holt-winters aditivo de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{t+1}=(a_t + b_t) S_{t-s+1} \end{align*}
mientras que, el ajuste de pronósticos se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{T+h}=(a_T + b_T h) S_{Y-s+h} \end{align*}
siendo $h$ el número de periodos a pronosticar.
Bibliografía
Hanke, J., and Wichern, D. (2010). Pronósticos en los negocios (9th ed.). Pearson educación.