Series con tendencia
Promedios móviles dobles
Este método se basa en aplicar el procedimiento de promedios móviles por segunda vez a una serie de tiempo, es decir, se calcula un primer conjunto de promedios móviles de la serie original y luego se calcula un segundo conjunto promedios móviles a partir del primer conjunto calculado, para luego hacer un ajuste por nivel y por pendiente.
El procedimiento para el cálculo de los promedios móviles dobles es el
siguiente. Primero se estima del promedio móvil unilateral con ancho de
ventana $k$ de la forma
\begin{align*} PMU_{t}=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}Y_{t-i} \end{align*}
para $t=k,k+1,k+2, \ldots, T$, con $i=0,1,\ldots, k-1$ y $k>0$.
Posteriormente, se realiza el cálculo del segundo promedio móvil,
empleando como insumo el promedio móvil unilateral calculado
previamente, tal que
\begin{align*} PMD_{t}=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}PMU_{t-i} \end{align*}
para $t=2k-1, 2k, \ldots, T$, con $i=0,1,\ldots, k-1$ y $k>0$. Una
vez obtenido el cálculos los dos promedios móviles, el método de
promedios móviles dobles supone tendencia lineal local, tal que
\begin{align*} \hat{Y}_{t+p}=a_t + b_t p \end{align*}
donde, $a_t$ es el intercepto u ordenada de la linea, $b_t$ es la
pendiente o cambio a largo plazo que posee la serie y $p=1,2,\ldots$
es el número de periodos que se desean estimar o pronosticar.
Para la estimación del intercepto ($a_t$) se emplea la siguiente
ecuación
\begin{align*} a_{t}= PMU_t + (PMU_t - PMD_t) = 2PMU_t - PMD_t \end{align*}
mientras que, para la estimación de la pendiente ($b_t$) se emplea la
siguiente ecuación
\begin{align*} b_{t}= \frac{2}{k-1}(PMU_t - PMD_t) \end{align*}
Es de anotar que en los promedios móviles dobles, el ajuste de las observaciones se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{t+1}=a_t + b_t \end{align*}
mientras que, el ajuste de pronósticos se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{T+h}=a_T + b_T h \end{align*}
siendo $h$ el número de periodos a pronosticar.
Suavizamiento exponencial de Brown
Este método también conocido como suavizamiento exponencial doble de Brown, funciona similar al promedio móvil doble, en donde, en lugar de aplicar dos veces un promedio móvil, este método se basa en la aplicación del procedimiento de suavizamiento exponencial por segunda vez a la serie de tiempo.
El objetivo será inicialmente, calcular a partir de la serie original
una nueva serie a partir del método de suavizamiento exponencial, de la
forma
\begin{align*} SES_{t} = \alpha Y_{t} + (1-\alpha)SES_{t-1} \end{align*}
a partir de la de esta nueva serie de observaciones, se realiza nuevamente un suavizamiento exponencial de la forma
\begin{align*} SED_{t} = \alpha SES_{t} + (1-\alpha)SED_{t-1} \end{align*}
donde $\alpha$ es el parámetro de suavización tal que $0<\alpha<1$.
Una vez obtenido el cálculos las dos suavizamientos exponenciales, el
método de suavizamiento exponencial de Brown supone tendencia lineal
local, tal que \begin{align*} \hat{Y}_{t+p}=a_t + b_t p \end{align*}
donde, $a_t$ es el intercepto u ordenada de la linea, $b_t$ es la
pendiente o cambio a largo plazo que posee la serie y $p=1,2,\ldots$
es el número de periodos que se desean estimar o pronosticar.
Para la estimación del intercepto ($a_t$) se emplea la siguiente
ecuación
\begin{align*} a_{t}= SES_t + (SES_t - SED_t) = 2SES_t - SED_t \end{align*}
mientras que, para la estimación de la pendiente ($b_t$) se emplea la
siguiente ecuación
\begin{align*} b_{t}= \frac{\alpha}{1-\alpha}(SES_t - SED_t) \end{align*}
donde, similar al caso de suavización exponencial simple, la constante
de suavización $\alpha$ pueden seleccionarse subjetivamente o
generarse minimizando una medida de error de pronóstico como las
presentadas en la Clase
03.
Para la selección de la primera observación asociada a $SES_1$ y
$SED_1$, usualmente se selecciona la primera obseración real, es decir
\begin{align*} SES_1 = SED_1 = Y_{1} \end{align*}
Adicionalmente, similar al caso de promedios móviles dobles, el ajuste de las observaciones para la suavización de Brown se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{t+1}=a_t + b_t \end{align*}
mientras que, el ajuste de pronósticos se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{T+h}=a_T + b_T h \end{align*}
siendo $h$ el número de periodos a pronosticar.
Suavizamiento exponencial de Holt
Este método supone que el nivel y/o la pendiente de la serie de tiempo no permanece constante si no que ésta varía ocasionalmente, y por tanto, es necesario ajustar el nivel y/o pendiente actual para anticipar su comportamiento futuro.
Hanke and Wichern (2010, p. 127) señalan que la técnica de Holt suaviza directamente el nivel y la pendiente usando diferentes constantes de suavización para cada uno, en donde, las constantes de suavización proporcionan estimados del nivel y la pendiente que se actualizan a medida que se dispone de nuevas observaciones.
Adicionalmente, la técnica de Holt es que ofrece un alto grado de flexibilidad en la selección de coeficientes con los cuales se controla el nivel y la tendencia, lo cual permite un mejor ajuste que las otras técnicas de suavización.
Para la aplicación de la técnica de Holt, es necesario especificar las siguientes tres ecuaciones
- La serie suavizada exponencialmente o nivel actual estimado
\begin{align*} a_t=\alpha Y_t + (1 - \alpha) (a_{t-1} + b_{t-1}) \end{align*}
- La estimación de la tendencia
\begin{align*} b_t=\beta (a_t-a_{t-1}) + (1 - \beta) b_{t-1} \end{align*}
- El modelo a estimar
\begin{align*} \hat{Y}_{t+p}=a_t + b_t p \end{align*}
donde $a_t$ es la estimación del intercepto o del nuevo nivel del
conjunto de observaciones en el periodo $t$, $\alpha$ es la
constante de suavización para el intercepto, tal que $0<\alpha<1$,
$b_t$ es la estimación de la tendencia en el periodo $t$, $\beta$
es la constante de suavización para la tendencia, tal que $0<\beta<1$,
y $p=1,2,\ldots$ es el número de periodos que se desean estimar o
pronosticar.
Hanke and Wichern (2010, p. 127) señalan que las
constantes de suavización $\alpha$ y $\beta$ pueden seleccionarse
subjetivamente o generarse minimizando una medida de error. Además, en
Hanke and Wichern (2010, p. 127) se señala que si
$\alpha = \beta$ el método de Holt es igual que la suavización
exponencial doble de Brown.
Para la selección de los primeros valores asociada a $a_1$ y $b_1$,
pueden seleccionarse de la forma
$a_1 = Y_1$, mientras que$b_1 = 0$$a_1 = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}Y_i$, mientras que$b_1 = \frac{\sum_{i=1}^5(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^5(x_i-\bar{x})^2}$$a_1 = \bar{y}-b_1\bar{x}$, mientras que$b_1 = \frac{\sum_{i=1}^T(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^T(x_i-\bar{x})^2}$
Al igual que para los dos métodos anteriores, el ajuste de las observaciones para la suavización de Holt se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{t+1}=a_t + b_t \end{align*}
mientras que, el ajuste de pronósticos se hace de la forma
\begin{align*} \hat{Y}_{T+h}=a_T + b_T h \end{align*}
siendo $h$ el número de periodos a pronosticar.
Bibliografía
Hanke, J., and Wichern, D. (2010). Pronósticos en los negocios (9th ed.). Pearson educación.