Lista de ejercicios

  1. Se realiza un estudio para determinar si los habitantes de dos islas ubicadas en el Pacífico poseen o no la misma ascendencia racial, y para ello un antropólogo decide emplear los índices cefálicos de $12$ hombres adultos de la isla $A$ y $18$ de la isla $B$ obteniendo los sigiuentes resultados
    Isla A
    78.96 79.30 78.79 75.59 74.52 75.97 74.69 73.31 76.78 80.86
    81.09 76.94
    Isla B
    72.27 71.40 74.25 73.55 73.87 71.17 73.38 72.39 72.09 73.81
    68.23 71.57 72.89 74.89 73.46 76.79 70.98 69.58

    Mediante el empleo de un nivel de significancia del $8\%$ pruebe si es razonable suponer que las dos poblaciones poseen en promedio índices cefálicos similares.

  2. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se obtiene en una muestra de mediciones en $36$ sitios diferentes de un río es de $2.6$ gramos por mililitro. Si la función de probabilidad no es conocida, pero se sabe que su desviación estándar es de $0.3$ gramos por mililitro. Basado en lo anterior, calcule un intervalo de confianza del $95\%$ para la concentración media de zinc en el río?
  3. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño muestral del punto anterior si queremos tener $95\%$ de confianza en que nuestra estimación de la media poblacional diferirá por menos de $0.05$?
  4. Se realiza un estudio en un río para observar la concentración de zinc que éste posee, y para ello se realiza una muestra aleatoria de $36$ sitios diferentes y se encuentra que la concentración promedio de zinc es de $2.8$ gramos por mililitro con una desviación estándar de $0.6$ gramos por mililitro. Si la función de probabilidad no es conocida, pero se sabe su desviación estándar es de $0.3$ gramos por mililitro, pruebe con un nivel de significancia del $5\%$ si la concentración media de zinc es de al menos $3$ gramos por mililitro.
  5. En una empresa se deciden comparar la resistencia de dos clases de hilo, y para ello se prueban $50$ piezas de cada clase de hilo en condiciones similares, encontrando que, la marca $A$ tiene una resistencia promedio a la tensión de $78.3$ kilogramos, con una desviación estándar de $5.6$ kilogramos; en tanto que la marca $B$ tiene una resistencia promedio a la tensión de $87.2$ kilogramos con una desviación estándar de $6.3$ kilogramos. Construya un intervalo de confianza del $95\%$ entre la diferencia de las resistencias promedio de tensión de los hilos. Es posible pensar que la resistencia promedio a la tensión de la marca $A$ es menor que la resistencia promedio a la tensión de la marca $B$?
  6. Un botánico desea probar la hipótesis de que el diámetro promedio de las flores de una planta en particular es $9.6_{cm}$, y para probar ésto, decide tomar una muestra aleatoria de $80$ flores y no rechazar la hipótesis si la media de la muestra cae entre $9.3_{cm}$ y $9.9_{cm}$; si la media de esta muestra cae fuera de este intervalo, el botánico rechazará tal hipótesis. ¿Qué decisión deberá tomará el botánico y qué situación estará ocurriendo si
    1. obtiene una media muestral de \(10.2_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.6_{cm}\)
    2. obtiene una media muestral de \(10.2_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.8cm\)
    3. obtiene una media muestral de \(9.4_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.6cm\)
    4. obtiene una media muestral de \(9.4_{cm}\) y la verdadera media \(\mu=9.8cm\)
    5. Si la desviación estándar es igual a \(2_{cm}\), calcule la probabilidad de cometer Error Tipo I.
    6. Si la desviación estándar es igual a \(2_{cm}\), Calcule la probabilidad de cometer Error Tipo II, si la verdadera media \(\mu=9.8cm\).
  7. Suponga que el contenido de ácido sulfúrico, en litros, de una muestra aleatoria de $7$ contenedores similares es de
    9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 10.2 9.6
    1. Construya un intervalo de confianza del \(95\%\) para el contenido promedio de todos los contenedores.
    2. Emplee el P-valor para verificar si hay evidencia sobre que el contenido promedio de todos los contenedores de ácido sulfúrico es de más de \(10\) litros.
  8. Para un experimento de pruebas psicológicas se seleccionan al azar $25$ sujetos de prueba y se les mide sus tiempos de reacción, en segundos, ante un estímulo particular, obteniendo que el tiempo promedio de reacción de los sujetos es de $6.2$ segundos con una desviación estándar de $1.3$ segundos. La experiencia sugiere que la varianza en los tiempos de reacción ante los diferentes tipos de estímulos es de $4_{s^2}$ y que la distribución de probabilidad para los tiempos de reacción es aproximadamente normal. Basado en lo anterior, emplee un nivel de significancia del $98\%$ para probar si el tiempo medio de reacción de todos los individuos es como máximo de $5.5$ segundos.
  9. Para un experimento de pruebas psicológicas se seleccionan al azar $25$ sujetos de prueba y se les mide sus tiempos de reacción, en segundos, ante un estímulo particular, obteniendo que el tiempo promedio de reacción de los sujetos es de $6.2$ segundos. La experiencia sugiere que la varianza en los tiempos de reacción ante los diferentes tipos de estímulos es de $4_{s^2}$ y que la distribución de probabilidad para los tiempos de reacción es aproximadamente normal. Basado en lo anterior, calcule el límite superior del $95\%$ para el tiempo medio de reacción de todos los individuos.
  10. El gerente de una gran tabacalera afirma en una conferencia de prensa que el contenido promedio de alquitrán de los cigarrillos que produce es de $14$ mg/cigarrillo. Un ingeniero realiza $5$ mediciones del contenido de alquitrán de cierta clase de cigarrillos para observar si la afirmación del gerente sobre el contenido de alquitrán es cierta, y obtiene en la muestra los siguientes resultados
    14.5 14.2 14.4 14.3 14.6

    ¿Encuentra apoyo la afirmación del gerente de la tabacalera?, emplee un nivel de significancia del $5\%$ para su conclusión.

  11. Un investigador de la ucla afirma que la esperanza de vida de los ratones se puede extender hasta en $25\%$ cuando se reduce aproximadamente $40\%$ de las calorías de su dieta desde el momento en que son destetados, en donde, la dieta restringida se enriquece hasta niveles normales con vitaminas y proteínas. Si se supone que a partir de estudios previos se sabe que el aumento de vida de los ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de $5.8$ meses, ¿cuántos ratones se deberían incluir en la muestra para tener un $99\%$ de confianza en que la vida media esperada de la muestra estará dentro de $2$ meses a partir de la media de la población para todos los ratones sujetos a la dieta reducida?
  12. Suponga que el grupo de Economía de la Salud, realiza un estudio sobre la altura que poseen los estudiantes de la Universidad, y para ello, toma una muestra aleatoria de $38$ estudiantes universitarios y encuentra que la estatura promedio fue de $174.5$ centímetros con una desviación estándar de $6.9$ centímetros.
    1. Construya un intervalo de confianza del \(98\%\) para la estatura media de todos los estudiantes universitarios.
    2. ¿Qué podemos afirmar con una confianza del \(98\%\) acerca del posible tamaño de nuestro error, si estimamos que la estatura media de todos los estudiantes universitarios es de \(174.5\) centímetros?
    3. Pruebe si la estatura promedio de todos los estudiantes es a lo sumo \(172\) centímetros, si suponemos que las alturas se distribuyen iid con desviación estándar de \(7.3\) centímetros.
    4. Empleando un nivel de significancia del \(2\%\), pruebe si la altura promedio de todos los estudiantes de la universidad es de al menos \(173\) centímetros.
  13. Dos marcas de refrigeradores, denotadas por $A$ y $B$ poseen garantías de $1$ año. Suponga que en una muestra aleatoria de $50$ refrigeradores de la marca $A$, se observó que $12$ de ellos fallaron antes de terminar el periodo de garantía, mientras que, una muestra aleatoria independiente de $60$ refrigeradores de la marca $B$ también reveló que $12$ de ellos fallaron durante el período de garantía.
    1. Pruebe si la proporción de refrigeradores que fallan durante el periodo de garantía para la marca \(A\) sea superior la proporción de refrigeradores de la marca \(B\) que fallan durante el periodo de garantía.
    2. ¿Podría concluirse que hay evidencia suficiente para afirma que las proporciones de fallas de la marca \(A\) de refrigeradores es superior a la proporción de falla de la marca \(B\) de refrigeradores, dentro del período de garantía? ¿Por qué?
  14. El gerente de una planta sospecha que el número promedio de piezas que produce un trabajador en particular por día, es menor que el número promedio de piezas de los demás trabajadores. Por ello, el gerente decide observar el número de piezas que produce este trabajador durante diez días, seleccionados al azar, obteniendo los siguientes resultados
    15 12 28 13 12 15 16 9 8 14
    1. Si se sabe que la desviación estándar para todos los trabajadores es de \(2\) unidades, emplee un nivel de significancia del \(2\%\) para probar si tiene o no apoyo la sospecha del gerente de que el número promedio de unidades producidas por el trabajador es menor a \(15\) unidades? Obtener el P-valor para el contraste.
    2. Emplee un nivel de significancia del \(5\%\) para probar si la proporción de días que el trabajador produce menos de \(15\) unidades es mayor al \(80\%\).
  15. ¿Está menguando el romance de los estadounidenses con el cine?, En una encuesta realizada por la empresa Gallup a $800$ adultos seleccionados de forma aleatoria, se encontró que $45\%$ de los encuestados indicaron que el cine estaba mejorando, mientras que, $43\%$ de los encuestados dijeron que el cine estaba empeorando. Basados en lo anterior
    1. Encuentre un intervalo de confianza de \(87\%\) para la proporción total de adultos que piensan que el cine está mejorando.
    2. ¿El intervalo incluye el valor \(p = 0.50\)? ¿Piensa usted que la mayoría de los adultos piensa que el cine está mejorando?
    3. Emplee un nivel de significancia del \(12\%\) para probar si la proporción total de adultos que piensan que el cine está mejorando es superior al \(50\%\).
  16. Los administradores de un hospital deseaban estimar el número promedio de días necesarios para el tratamiento de enfermos internados entre las edades de $25$ y $34$ años. Una muestra aleatoria de $500$ pacientes entre estas edades produjo una media y una desviación estándar igual a $5.4$ y $3.1$ días, respectivamente. Basado en la información anterior,
    1. Si se asume que los datos se distribuye normalmente, calcule la probabilidad de que la varianza de la población de pacientes de la cual se extrajo la muestra, tenga un valor superior a \(8_{días^2}\).
    2. Calcule el límite superior de un intervalo de confianza del \(95\%\) para la duración media de permanencia de la población de pacientes de la cual se extrajo la muestra.
  17. Un estudio del número de comidas de negocios que los ejecutivos de las industrias de seguros y bancos reclaman mensualmente como gastos deducibles, se basó en muestras aleatorias y produjo los siguientes resultados
    Seguros Bancos
    Muestra 40 50
    Media muestral 9.1 8.0
    Desviación estándar muestral 1.9 2.1

    Use un nivel del $5\%$ de significancia para probar si el gasto promedio deducible de ambas poblaciones es igual. Encuentre el P-valor para esta prueba.

  18. A la mayoría de estadounidenses les gusta participar en eventos deportivos o al menos verlos. Algunos sienten que los deportes tienen más que sólo valor de entretenimiento, tanto así, que en una encuesta realizada a $1000$ adultos, realizada por KRC Research & Consulting, se encontró que $78\%$ sintieron que los deportes de gran atractivo tienen un efecto positivo en la sociedad.
    1. Encuentre un intervalo de confianza de \(95\%\) para el porcentaje del público que piensa que los deportes tienen un efecto positivo en la sociedad.
    2. La encuesta publicó un margen de error de “más o menos \(3.1\%\)”. ¿Esto concuerda con la respuesta encontrada en el inciso a)? ¿Qué valor de \(p\) produce el margen de error dado por la encuesta?
    3. Emplee un nivel de significancia del \(5\%\) para probar si la mayoría de estadounidenses piensan que los deportes tienen un efecto positivo en la sociedad.
  19. Para una comparación de los porcentajes de piezas defectuosas producidas por dos líneas de montaje, de cada línea se seleccionaron muestras aleatorias independientes de $100$ piezas. La línea $A$ produjo $18$ piezas defectuosas en la muestra y la línea $B$ contenía $12$ piezas defectuosas.
    1. Encuentre un intervalo de confianza de \(98\%\) para la verdadera diferencia en proporciones de piezas defectuosas para las dos líneas.
    2. ¿Hay evidencia aquí que sugiera que una línea produce una proporción más alta de piezas defectuosas que la otra?
    3. Emplee un nivel de significancia del \(2\%\) para probar si una línea de montaje produce una proporción más alta de piezas defectuosas que la otra.
  20. Es frecuente que encuestadores por teléfono entrevisten entre $1000$ y $1500$ personas sobre sus opiniones en asuntos varios. En este caso tienen interés en ¿El rendimiento de los equipos de atletismo universitarios tiene un impacto positivo en la percepción del público del prestigio de las instituciones?. Y por ello, se realizará una nueva encuesta para ver si hay diferencia entre las opiniones de hombres y mujeres sobre este asunto.
    1. Si se han de entrevistar \(1000\) hombres y \(1000\) mujeres, y se emplea un nivel de confianza del \(95\%\) ¿con cuánta precisión podría usted estimar la diferencia en las proporciones que piensan que el rendimiento de sus equipos de atletismo tiene un impacto positivo en la percepción del público acerca del prestigio de las instituciones? Encuentre un límite máximo para el error de estimación.
    2. Supongamos que usted estuviera diseñando la encuesta y desea estimar la diferencia en un par de proporciones, entonces si desea que el error de estimación que no supere \(0.02\), y decide emplear un nivel de confianza de \(90\%\). ¿Cuántas entrevistas deberán realizarse a cada población si suponemos que las muestras son iguales?
  21. Se tiene la creencia que las profesoras de la Universidad suelen gastar en promedio más dinero en café que los profesores en un mes. Para probar ésto, se realiza un estudio en el cual se toma una muestra aleatoria de profesoras y profesores y se registra el gasto que tuvieron durante el mes, obteniendo los siguientes resultados, en miles de pesos
    Profesores Profesoras
    Tamaño Muestra 20 28
    Media muestral 33 38.5
    Desviación estándar muestral 2.9 3.1

    Si es posible asumir que el dinero que se gasta en café es aproximadamente normal para ambas poblaciones, use un nivel del $5\%$ de significancia para probar la hipótesis planteada previamente. Emplee el P-valor en sus conclusión.

  22. Suponga que nos encontramos en época de elecciones, y que el responsable de la campaña política del candidato $A$ piensa en el ambiente de las últimas semanas previas a las elecciones. Él piensa que su candidato se encuentra en igual posición que su oponente, el candidato $B$, pero han ocurrido algunos reveses en forma reciente. El responsable lleva a cabo una encuesta de percepción electoral a $1500$ ciudadanos. Si de los $1500$, $737$ indican una preferencia por el candidato $A$, ¿existe alguna razón para creer que el candidato $A$ se encuentra en desventaja con relación al candidato $B$?, Use un nivel de significancia del $5\%$.
  23. Una bióloga quiere probar la hipótesis de que la envergadura media de cierta clase de insectos es $12.3_{mm}$ contra la alternativa de que no es de $12.3_{mm}$. Suponga que la envergadura de los insectos puede asumirse normal con una desviación estándar conocida e igual a $0.8_{mm}$. Si se toma una muestra aleatoria de $12$ insectos y se decide aceptar la hipótesis nula si y sólo si la media de la muestral cae entre $12.0_{mm}$ y $12.6_{mm}$,
    1. Calcule la probabilidad de cometer un error tipo I.
    2. Calcule la probabilidad de cometer un error tipo II, si la media real de la envergadura de los insectos es de \(12.5_{mm}\)
    3. ¿Qué decisión estaría tomando la bióloga si obtiene de la muestra un media de \(12.9_{mm}\), y se tiene que la media real de la envergadura de los insectos es \(12.5mm\)?
    4. ¿Qué decisión estaría tomando la bióloga si obtiene de la muestra un media de \(12.9_{mm}\), y se tiene que la media real de la envergadura de los insectos es \(12.3_{mm}\)?
  24. Las calificaciones del Examen de Evaluación Escolar (SAT por sus siglas en inglés), que han bajado lentamente desde el inicio del examen, ahora han empezado a subir. Originalmente, una calificación de $500$ estaba considerada como promedio. Las calificaciones medias para el $2005$ fueron aproximadamente $520$ para el examen verbal y $508$ para el examen de matemáticas. Una muestra aleatoria de las calificaciones del examen, de $20$ alumnos de último año de una preparatoria urbana de gran tamaño, produjo las medias y desviaciones estándar citadas en la tabla siguiente
    Verbal Matemáticas
    Media muestral 505 495
    Desviación estándar muestral 57 69
    1. Suponiendo normalidad, emplee un nivel de significancia del \(10\%\) para observar si la calificación promedio del SAT verbal obtenida por los alumnos de último año es superior a \(520\) puntos.
    2. Suponiendo normalidad, emplee un nivel de significancia del \(10\%\) para observar si la calificación promedio del SAT de matemáticas obtenida por los alumnos de último año es a lo más de \(508\) puntos.
    3. Suponiendo normalidad, emplee un nivel de significancia del \(10\%\) para observar si la variabilidad en la calificación obtenida por los estudiantes en el SAT verbal y el SAT de matemáticas es la misma.
  25. Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños, de corto alcance. Suponga que por experiencia, se sabe que la probabilidad de que el sistema existente tenga un lanzamiento exitoso es del $80\%$. Si se toma una muestra de $40$ lanzamientos experimentales con el nuevo sistema y $34$ resultan exitosos.
    1. Emplee un nivel de significancia del \(8\%\) para probar si el nuevo sistema es mejor que el sistema actual.
    2. Construya un intervalo de confianza para la verdadera proporción de lanzamientos que resultan exitosos con el nuevo sistema.