Jorge Iván Pérez

Lista de ejercicios

Sea $X_1, X_2, \ldots, X_5$ una muestra aleatoria iid de la proporción de personas que responden una encuesta por correo electrónico, con función de probabilidad dada por \begin{align*} f(x) = \frac{2(x+2)}{5} \text{ para } 0\leq x\leq1 \end{align*} Encuentre la función de densidad de probabilidad del estadístico de orden más pequeño.
Suponga que para un estudio de movilidad en el municipio de Medellín se desea observar el número promedio de vehículos que transitan por cierto rompoy en un día con el fin de evaluar si es necesario hacer o no modificaciones a éste. Para ello, se toma una muestra aleatoria de $60$ días obteniendo con ésta un promedio de $280$ vehículos por día. Al ver dichos resultados y debido a conflictos de interés, los agentes de movilidad afirman que dicho estudio está errado y el verdadero número de vehículos que transitan por el rompoy en un día se distribuye Poisson con promedio de $260$ . Si se emplea como verdadera la afirmación de los agentes de movilidad
1. Calcule la probabilidad de obtener un promedio muestral de $280$ o más?
2. Calcule la probabilidad de que el promedio real sea de a lo más $270$?
En una empresa se deciden comparar la resistencia de dos clases de hilo, y para ello se prueban $50$ piezas de cada clase de hilo en condiciones similares, encontrando que, la marca $A$ tiene una resistencia promedio a la tensión de $78.3$ kilogramos, con una desviación estándar de $5.6$ kilogramos; en tanto que la marca $B$ tiene una resistencia promedio a la tensión de $87.2$ kilogramos con una desviación estándar de $6.3$ kilogramos. Calcule la probabilidad de que la diferencia absoluta entre las resistencias promedio de tensión de los hilos $A$ y $B$ se a lo más de $5$ kilogramos.
Suponga que el contenido de ácido sulfúrico, en litros, de una muestra aleatoria de $7$ contenedores similares es de

9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 10.2 9.6

Si puede asumirse que el contenido de los contenedores se distribuye aproximadamente normal, calcule la probabilidad de que el contenido promedio de ácido sulfúrico se encuentre entre $9.7$ y $9.8$ litros.
Sean $X_1, X_2, \ldots, X_n$ variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente en el intervalo $(0, \theta)$ .
1. Encuentre la función de densidad de $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$.
2. Encuentre la función de distribución acumulada de $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$.
3. Encuentre la media y la varianza de $X_{(n)}$
Un investigador de la ucla afirma que la esperanza de vida de los ratones se puede extender hasta en $25\%$ cuando se reduce aproximadamente $40\%$ de las calorías de su dieta desde el momento en que son destetados, en donde, la dieta restringida se enriquece hasta niveles normales con vitaminas y proteínas. Si se supone que a partir de estudios previos se sabe que el aumento de vida de los ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de $5.8$ meses, ¿Cuál es la probabilidad de que la vida media muestral difiera máximo en $2$ meses de la media de la población, si el investigador decide tomar una muestra de $15$ ratones?
Suponga que el grupo de Macroeconomía Aplicada, realiza un estudio sobre la altura que poseen los estudiantes de la Universidad, y para ello, toma una muestra aleatoria de $50$ estudiantes universitarios y encuentra que la estatura promedio fue de $174.5$ centímetros con una desviación estándar de $6.9$ centímetros. Basados en la información anterior,
1. Cual es la probabilidad de que la estatura promedio de todos los estudiantes sea a lo sumo $172$ centímetros.
2. Cual es la probabilidad de que la estatura promedio de todos los estudiantes sea a lo sumo $172$ centímetros, si suponemos que las alturas se distribuyen iid con desviación estándar de $7.3$ centímetros.
Dos marcas de refrigeradores, denotadas por $A$ y $B$ poseen garantías de $1$ año. Suponga que en una muestra aleatoria de $50$ refrigeradores de la marca $A$ , se observó que $12$ de ellos fallaron antes de terminar el periodo de garantía, mientras que, una muestra aleatoria independiente de $60$ refrigeradores de la marca $B$ también reveló que $12$ de ellos fallaron durante el período de garantía. Calcule la probabilidad de que la proporción de refrigeradores que fallan durante el periodo de garantía para la marca $A$ sea superior la proporción de refrigeradores de la marca $B$ que fallan durante el periodo de garantía.
Suponga el tiempo que tarda en ir un estudiante desde su casa hasta la Universidad posee una distribución exponencial con un promedio de $28$ minutos. Si en cierta semana el estudiante realiza un total de $50$ viajes, cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de los viajes hayan sido de al menos $30$ minutos?
Los administradores de un hospital deseaban estimar el número promedio de días necesarios para el tratamiento de enfermos internados entre las edades de $25$ y $34$ años. Una muestra aleatoria de $500$ pacientes entre estas edades produjo una media y una desviación estándar igual a $5.4$ y $3.1$ días, respectivamente. Si se asume que los datos se distribuye normalmente, calcule la probabilidad de que la varianza de la población de pacientes de la cual se extrajo la muestra, tenga un valor superior a $8_{días^2}$ .
Suponga que el número de vehículos que cruzan debajo de un puente hasta que cruce un vehículo azul sigue posee una distribución geométrica con parámetros $p= 0.12$ . Si toma un total de $60$ registros del número de vehículos que cruzan debajo del puente hasta que cruce un vehículo azul, cuál es la probabilidad de que el promedio encontrado de vehículos que cruzan hasta que cruce un vehículo azul se encuentre entre $6$ y $8$ vehículos.
Para una comparación de los porcentajes de piezas defectuosas producidas por dos líneas de montaje, de cada línea se seleccionaron muestras aleatorias independientes de $100$ piezas. La línea $A$ produjo $18$ piezas defectuosas en la muestra y la línea $B$ contenía $12$ piezas defectuosas. Encuentre la probabilidad de que la proporción de piezas defectuosas de la línea $B$ sea mayor a la proporción de piezas defectuosas de la línea $A$ .
Suponga que la vida útil de cierta referencia de televisores producidos por la empresa LG, posee una densidad de probabilidad exponencial con media de $10$ años. Entonces, si $X_1, X_2, \ldots, X_{2m+1}$ representan una muestra aleatoria de esta referencia de televisores, encuentre la función de densidad de $\tilde{X}$ .
Las calificaciones del Examen de Evaluación Escolar (SAT por sus siglas en inglés), que han bajado lentamente desde el inicio del examen, ahora han empezado a subir. Originalmente, una calificación de $500$ estaba considerada como promedio. Las calificaciones medias para el $2005$ fueron aproximadamente $508$ para el examen verbal y $520$ para el examen de matemáticas. Una muestra aleatoria de las calificaciones del examen, de $20$ alumnos de último año de una preparatoria urbana de gran tamaño, produjo las medias y desviaciones estándar citadas en la tabla siguiente

Verbal Matemáticas

Media muestral 505 495

Desviación estándar muestral 57 69
1. Suponiendo normalidad, cuál es la probabilidad de que la calificación media de la prueba SAT verbal de todos los alumnos de último año sea al menos de $508$ puntos.
2. Suponiendo normalidad, cuál es la probabilidad de que la calificación media de la prueba SAT de matemáticas de todos los alumnos de último año sea a lo sumo de $520$ puntos.
Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños, de corto alcance. Suponga que por experiencia, se sabe que la probabilidad de que el sistema existente tenga un lanzamiento exitoso es del $80\%$ . Si se toma una muestra de $40$ lanzamientos experimentales con el nuevo sistema y $34$ resultan exitosos. Cuál es la probabilidad de que la proporción real de lanzamientos exitosos sea al menos del $80\%$ .
Es frecuente que los químicos orgánicos purifiquen compuestos orgánicos por medio de un método conocido como cristalización fraccional. Un experimentador desea preparar y purificar $4.85$ gramos de anilina. Diez especímenes de $4.85$ gramos de anilina se prepararon y purificaron para producir acetanilida. Se obtuvieron los siguientes resultados en seco:

3.85 3.88 3.90 3.62 3.72

3.80 3.85 3.36 4.01 3.82

Calcule la probabilidad de que el número medio de gramos de acetanilida que se puede recuperar de $4.85$ gramos de anilina sea al menos de $3.69$ pero a lo más de $3.82$ gramos de anilina.
Dos nuevos medicamentos se dieron a pacientes con hipertensión. El primer medicamento redujo la presión sanguínea de $16$ pacientes en un promedio de $11$ puntos, con una desviación estándar de $6$ puntos; mientras que el segundo medicamento redujo la presión de otros $20$ pacientes en un promedio de $12$ puntos, con desviación estándar de $8$ puntos. Cuál es la probabilidad de que la reducción promedio en la presión sanguínea que otorga el medicamento $A$ sea menor que la reducción promedio que ofrece el medicamento $B$ .
1. Suponga que las mediciones están distribuidas normalmente con varianzas iguales.
2. Suponga que las mediciones están distribuidas normalmente con varianzas diferentes

	Verbal	Matemáticas
Media muestral	505	495
Desviación estándar muestral	57	69

3.85	3.88	3.90	3.62	3.72
3.80	3.85	3.36	4.01	3.82

¿El precio pagado por el atún depende del método de empaque? Consumer Reports da el precio promedio estimado para una lata de $6$ onzas o una bolsa de $7.06$ onzas de atún, con base en precios pagados a nivel nacional en supermercados. Los precios se registran para una variedad de marcas de atún en la tabla siguiente:

Atún Claro en Agua		Atún Blanco en Agua		Atún Blanco en Aceite		Atún Claro en Aceite
0.99	0.53	1.27	1.22	1.49	1.29	2.56	0.62
1.92	1.41	1.19	1.22	1.29	1.00	1.92	0.66
1.23	1.12	1.18	1.03	1.27	1.27	1.30	0.62
0.85	0.63	1.28		1.35	1.28	1.79	0.65
0.65	0.67					1.23	0.60
0.69	0.60					0.67
0.60	0.66

Suponga que las marcas de atún incluidas en el estudio representan una muestra aleatoria de todas las marcas de atún existentes en Estados Unidos, y que estos precios se encuentran normalmente distribuidos.

Calcule la probabilidad de que el precio promedio de atún blanco empacado en aceite sea a lo más $1.4$ dolares.
Calcule la probabilidad de que la variabilidad del precio del atún blanco empacado en agua, sea mayor a la variabilidad del precio del atún claro empacado en agua.
Calcule la probabilidad de que el precio promedio del atún blanco empacado en aceite sea menor que el precio promedio de atún claro empacado en aceite.

Un experimentador desea comprobar la variabilidad de mediciones obtenidas al usar equipo diseñado para medir el volumen de una fuente de audio. Tres mediciones independientes registradas por este equipo para la misma fuente de sonido fueron $4.1$ , $5.2$ y $10.2$ . Calcule la probabilidad de que la variabilidad del volumen de una fuente de audio sea cuando mucho $12.53$ . Suponga normalidad.
La Environmental Protection Agency (EPA) ha establecido un máximo nivel de ruido de $83_{dB}$ para camiones pesados. La forma en la que se aplique este límite afectará considerablemente al público y a la industria del transporte por carretera. Una forma de aplicar los límites es exigir que todos los camiones se apeguen al límite de ruido. Un segundo método menos satisfactorio es exigir que el nivel medio de ruido de la flota de camiones sea menor al límite. Si se adopta esta última regla, la variación en el nivel de ruido de un camión a otro se hace importante porque una variabilidad grande, implicaría que muchos camiones rebasen ese límite, incluso si el nivel medio de la flota fuera de $83_{dB}$ . Una muestra aleatoria de cinco camiones pesados produjo los siguientes niveles de ruido (en decibeles):

85.4 86.8 85.3 84.8 86.0

Basados en esta información y bajo el supuesto de normalidad
1. Calcule la probabilidad de que la varianza de las lecturas de emisión de ruido de camiones, sea mayor a $2_{dB^2}$. Interprete sus resultados.
2. Calcule la probabilidad de que la diferencia absoluta entre la media real y muestral sea como máximo de $0.4_{dB}$.
Suponga que el número de entregas que realiza un camión de Servientrega en una hora posee una distribución de probabilidad dada por

$X$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{1}$ $\mathbf{2}$ $\mathbf{3}$ $\mathbf{4}$

$p(x)$ $0.03$ $0.18$ $0.25$ $0.28$ $0.26$

Si se registra el número de entregas que realiza en $50$ intervalos de una hora seleccionados de forma aleatoria, cuál es la probabilidad de que el número promedio obtenido se encuentre entre $1.3$ y $2.5$ entregas.
Un instrumento de precisión usado para la medición de la profundidad de una cuenca hidroeléctrica, garantiza dar lecturas que no varían en más de $2$ unidades. Una muestra de ocho lecturas del instrumento en el mismo punto de la cuenca dio las siguientes mediciones

353 358 351 363 375 365 369 348

Si asumimos que las mediciones se distribuyen normalmente con una media desconocida pero con una varianza de $3$ ,Calcule la probabilidad de que el promedio desconocido de las mediciones realizadas por el instrumento de precisión se encuentre entre $358$ y $363$ .
Para un experimento de pruebas psicológicas se seleccionan al azar $25$ sujetos de prueba y se les mide sus tiempos de reacción, en segundos, ante un estímulo particular, obteniendo que el tiempo promedio de reacción de los sujetos es de $6.2$ segundos. La experiencia sugiere que la varianza en los tiempos de reacción ante los diferentes tipos de estímulos es de $4_{s^2}$ y que la distribución de probabilidad para los tiempos de reacción es aproximadamente normal. Basado en lo anterior
1. Calcule la probabilidad de que el tiempo de reacción promedio para todos los individuos sea a lo más de $6$ segundos.
2. Calcule la probabilidad de que el tiempo de reacción promedio para todos los individuos no supere los $7$ segundos.
¿Está menguando el romance de los estadounidenses con el cine?, En una encuesta realizada por la empresa Gallup a $800$ adultos seleccionados de forma aleatoria, se encontró que $45\%$ de los encuestados indicaron que el cine estaba mejorando, mientras que, $43\%$ de los encuestados dijeron que el cine estaba empeorando. Basados en lo anterior, cuál es la probabilidad de que la mayoría de los adultos piensen que el cine esté mejorando?
En el trabajo de laboratorio es deseable realizar cuidadosas verificaciones de la variabilidad de lecturas producidas en muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en agua potable realizado como parte de una evaluación de calidad del agua, la misma muestra estándar se hizo pasar por el laboratorio seis veces en intervalos aleatorios. Las seis lecturas, en partes por millón, fueron

9.32 9.48 9.70 9.46 9.26 9.18

Si asumimos normalidad, cuál es la probabilidad de que la variabilidad de las lectura sea a lo más de $0.4$ partes por millón cuadradas.
Sean $X_1, X_2, \ldots, X_n$ variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente en el intervalo $(0, 1)$ . Demuestre que la función de densidad de $k$ -ésimo estadístico de orden $X_{(k)}$ , con $k$ es un entero entre $1$ y $n$ , posee una función de densidad beta con $\alpha = k$ y $\beta = n-k+1$ .
Un banco reporta que la población de sus saldos de depósito a la vista están normalmente distribuidos con una media de $1200$ y una desviación estándar de $250$ . Un auditor rechaza certificar el reporte del banco y toma una muestra aleatoria de $36$ estados de cuentas. El auditor certificará el reporte solo si la media muestral se encuentra a $50$ dólares o más de la supuesta media poblacional. Cuál es la probabilidad de dicho hallazgo?
Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se obtiene en una muestra de mediciones en $36$ sitios diferentes de un río es de $2.6$ gramos por mililitro. Si la función de probabilidad no es conocida, pero se sabe su desviación estándar es de $0.3$ gramos por mililitro. Calcule la probabilidad de que la concentración media de zinc en el río se encuentre entre $2.4$ y $2.5$ gramos por mililitro.
Un guardabosque, que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pinos en el sureste, está interesado en estimar el promedio de área de la base de los pinos. Al estudiar áreas basales de pinos similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) están distribuidas normalmente con desviación estándar aproxima de $4$ pulgadas cuadradas.
1. Si el guardabosque muestrea un total de $12$ árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de $2$ pulgadas cuadradas de la media poblacional.
2. Suponga que al guardabosque le gustaría que la media muestral estuviera a no más de $0.8$ pulgadas cuadrada de la media poblacional, con probabilidad del $90\%$. ¿Cuántos árboles debe medir para asegurar este grado de precisión?
Suponga que el periodo de vida de una broca en una operación mecánica, en horas, tiene una distribución Weibull con parámetros $\alpha=0.5$ y $\beta=35$ . Si se toma una muestra aleatoria de tamaño $n$ , encuentre la función de probabilidad y de distribución acumulada para el estadístico de orden más pequeño.
Un experimento publicado en Popular Science comparó el ahorro de combustible para dos tipos de camiones compactos que funcionan con diesel y están equipados de forma similar. Suponga que se utilizaron $12$ camiones Volkswagen y $10$ Toyota en pruebas con una velocidad constante de $90$ kilómetros por hora. Si los $12$ camiones Volkswagen promedian $16$ kilómetros por litro con una desviación estándar de $1.0$ kilómetros por litro, y los $10$ Toyota promedian $11$ kilómetros por litro con una desviación estándar de $0.8$ kilómetros por litro, Calcule la probabilidad de que los kilómetros promedio por litro que recorre el camión Volkswagen sea superior a los kilómetros promedio por litro que recorre el caminón Toyota. Suponga que las distancias por litro para cada modelo de camión están distribuidas de forma aproximadamente normal con varianzas diferentes.

Se considera usar dos marcas diferentes de pintura vinílica, y para ello, se decide seleccionar $15$ especímenes de cada tipo de pintura, y se realizó la medición de los tiempos de secado en horas, obteniendo los siguientes resultados:

Pintura A					Pintura B
3.5	2.7	3.9	4.2	3.6	4.7	3.9	4.5	5.5	4.0
2.7	3.3	5.2	4.2	2.9	5.3	4.3	6.0	5.2	3.7
4.4	5.2	4.0	4.1	3.4	5.5	6.2	5.1	5.4	4.8

Si se supone que los tiempos de secado se distribuye normalmente con varianzas diferentes. Calcule la probabilidad de que el promedio del tiempo medio de secado de la pintura $B$ sea como máximo el tiempo medio de secado de la pintura $A$ .

A dos grupos de ratas diabéticas se les suministran dos niveles de dosis de insulina (alto y bajo) para verificar la capacidad de fijación de esta hormona. Se obtuvieron los siguientes datos.

Dosis baja Dosis alta

Tamaño muestra 8 13

Media muestral 1.98 1.30

Desviación estándar muestral 0.51 0.35

Si es posible suponer que la capacidad de fijación de la insulina en los dos grupos de ratas se distribuye normalmente con varianzas iguales. Cuál es la probabilidad de que la capacidad promedio verdadera de fijación de insulina en las ratas que les suministran una Dosis baja sea mayor la capacidad promedio verdadera de fijación de insulina en las ratas que les suministran una Dosis alta por $0.4$ .
Un fabricante de cierta marca de barras de cereal con bajo contenido de grasa afirma que el contenido promedio de grasa saturada en éstas se encuentra entre $0.56$ y $0.64$ gramos. En una muestra aleatoria de barras de cereal de esta marca se encontró que su contenido de grasa saturada era de

1.2 0.3 0.4 0.7 0.2 1.0 0.6 0.1 0.4 0.5 0.9 0.4 0.8 1.4 0.4

Estaría de acuerdo con tal afirmación? Suponga una distribución normal.
Un fabricante de baterías para automóvil afirma que sus baterías durarán, en promedio, $3$ años con una desviación estándar de $1$ año. Suponga que se toma una muestra aleatoria de $15$ de estas baterías y se les mide su tiempo de duración, en años, obteniendo los siguientes reusltados

1.9 2.4 3.0 3.5 4.2 3.6 2.7 1.5 3.5 2.7 2.9 3.1 3.7 1.9 4.4

Suponiendo que la duración de todas las baterías se distribuye de forma aproximadamente normal.
1. Calcule la probabilidad de que el tiempo promedio de durabilidad de todas las baterías sea de $3$ o más años.
2. Calcule la probabilidad de que la desviación estándar de todas las baterías se encuentre entre $0.8$ y $1.2$ años.
Las siguientes son las calificaciones obtenidas en un examen de personalidad por $2$ muestras de $9$ mujeres casadas y solteras:

Casadas 88 68 77 82 63 80 78 71 72

Solteras 73 77 67 74 74 64 71 71 72

Suponiendo que estos datos se pueden considerar como muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones normales, que tan probable es que la varianza de las calificaciones de las mujeres solteras sea mayor a la varianza de las calificaciones de las mujeres casadas.
Un factor importante en el combustible sólido para proyectiles es la distribución del tamaño de las partículas. Cuando las partículas son demasiado grandes se presentan problemas importantes. A partir de una muestra aleatoria de tamaño $n$ , se determinó que la distribución del tamaño (en micras) de las partículas se caracteriza por \begin{align*} f(x) = 3x^{-4} \text{ para } x\geq1 \end{align*} Encuentre la función de densidad de probabilidad del $k$ -ésimo estadístico de orden.
Un proveedor de queroseno tiene un tanque de $150$ galones que se llena al empezar cada semana. Su demanda semanal muestra un comportamiento de frecuencia relativo que aumenta de manera continua hasta $100$ galones y luego se nivela entre $100$ y $150$ galones. Si $Y$ denota la demanda semanal en cientos de galones, la frecuencia relativa de demanda puede ser modelada por \begin{align*} f(x)=\begin{cases}x & 0\leq x\leq 1 \\1 & 1<x\leq 1.5 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*} Si se toma una muestra aleatoria de tamaño $60$ de la demanda semanal en cientos de galones del proveedor de queroseno, cuál es la probabilidad de que la demanda promedio obtenida en las $60$ semanas sea a lo más de $1.3$ cientos de galones.
Se considera una medición física realizada con un instrumento de precisión, donde el interés se centra en la variabilidad de la lectura. Se sabe que la medición es una variable aleatoria con distribución normal y desviación estándar $4$ unidades. Si se toma una muestra aleatoria de tamaño $23$ , cuál esla probabilidad de que el valor de la varianza muestral sea mayor de $13.6$ unidades cuadradas.
El consumo de combustible, en kilómetros por litro, de todos los coches de cierto modelo tiene media $10$ kilómetros y desviación estándar de $2$ kilómetros, tanto así que puede asumirse que la distribución poblacional es normal. Hallar la probabilidad de que la media muestral del consumo de combustible sea menor que $10$ kilómetros por litro si
1. Se toma una muestra aleatoria de una observación.
2. Se toma una muestra aleatoria de cuatro observaciones.
3. Se toma una muestra aleatoria de dieciséis observaciones.

\(X\)	\(\mathbf{0}\)	\(\mathbf{1}\)	\(\mathbf{2}\)	\(\mathbf{3}\)	\(\mathbf{4}\)
\(p(x)\)	\(0.03\)	\(0.18\)	\(0.25\)	\(0.28\)	\(0.26\)

	Dosis baja	Dosis alta
Tamaño muestra	8	13
Media muestral	1.98	1.30
Desviación estándar muestral	0.51	0.35

Casadas	88	68	77	82	63	80	78	71	72
Solteras	73	77	67	74	74	64	71	71	72