Suponga que por Ley, la vida máxima de la patente para un nuevo
medicamento es $17$ años. Si restamos el tiempo requerido por la
FDA para someter a pruebas y aprobar el medicamento, se obtiene la
vida real de la patente para el medicamento, es decir, el tiempo que
la compañía tiene para recuperar los costos de investigación,
desarrollo y obtener una utilidad. La distribución de los tiempos de
vida reales de las patentes para nuevos medicamentos se da a
continuación:
Años, \(x\)
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
\(p(x)\)
0.03
0.05
0.07
0.10
0.14
0.20
0.18
0.12
0.07
0.04
Calcule el primer momento alrededor del origen.
Calcule el segundo momento alrededor del origen.
Calcule el segundo momento central.
La cantidad diaria de café, en litros, que sirve la maquina de las
burbujas, es una variable aleatoria uniforme en el intervalo de
$6.8$ hasta $10$ litros.
¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, la maquina
sirva más de \(8\) litros?
¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, la maquina
sirva más de \(8.8\) litros, si en lo que va del día ya ha servido
\(7.8\)?
Suponga que a partir de gran cantidad de datos históricos se sabe
que $X$, el número de automóviles que llegan a una intersección
específica durante un periodo de $20$ segundos, se determina
mediante la siguiente función de probabilidad discreta
\begin{align*} p(x)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} \text{ para } x=0,1,2,\dots \end{align*}
Encuentre su función generadora de momentos de la variable aleatoria
\(X\).
Encuentre la media, varianza, asimetría y exceso de curtosis de la
variable aleatoria \(X\) mediante la función generadora de momentos.
Suponga que el número de llamadas telefónicas que entran a un
conmutador particular siguen un proceso de Poisson con un promedio
de $5$ llamadas entrantes por minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que transcurra hasta un minuto en el
momento en que ha entrado \(1\) llamada al conmutador?
¿Cuál es la probabilidad de que transcurra hasta un minuto en el
momento en que han entrado \(3\) llamadas al conmutador?
Sea $X$ una variable aleatoria con función de masa de probabilidad
geométrica dada por
\begin{align*} p(x)=p(1-p)^{x-1} \text{ para } x=1,2,3,\ldots \end{align*}
Encuentre su función generadora de momentos de la variable aleatoria
\(X\).
Encuentre la media, varianza, asimetría y exceso de curtosis de la
variable aleatoria \(X\) mediante la función generadora de momentos.
Considere a $X$ la variable aleatoria que representa la suma de
las caras para el lanzamiento de dos dados, con función de masa de
probabilidad dada por
\begin{align*} p(x)=\frac{6-|7-x|}{36} \text{ para } x = 2,3,\ldots,12 \end{align*}
Calcule el segundo momento central.
El tiempo entre arribos de taxis al acopio de una estación del metro
tiene una media de $60$ segundos.
¿Cuál es la probabilidad de que la llegada del próximo taxi tarde al
menos \(40\) segundos?.
¿Cuál es la probabilidad de que la llegada del próximo taxi tarde al
menos \(40\) segundos, si ya han pasado \(20\) segundos y aún no
llega ningún taxi al acopio del metro?
¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al acopio más de \(10\) pero
no menos de \(15\) taxis en un intervalo de \(20\) minutos.
Demuestre que el $r$-ésimo momento alrededor del origen de la
distribución gamma es
\begin{align*} \mu'_r=\mathbb{E}(X^r)=\frac{\beta^r\Gamma(\alpha + r)}{\Gamma(\alpha)} \end{align*}
y calcule la media, varianza, asimetría y exceso de curtosis de la
distribución Gamma.
Luego de varios semestres, un profesor de estadística encuentra que
los resultados que obtienen los estudiantes en el examen final de
estadística, tienen una distribución normal con media $3.2$ y
varianza $0.1225$. Si un estudiante necesita al menos un $4$
para que la nota acumulada le quede sobre $2.96$, cuál es la
probabilidad de que luego de presentar el parcial gane la materia?
Suponga una variable aleatoria $X$ la cual posee una función de
masa de probabilidad uniforme discreta, de la forma
\begin{align*} p(x) = \frac{1}{k} \text{ para } x = 1,2, \ldots, k \end{align*}
Encuentre su función generadora de momentos de la variable aleatoria
$X$.
El sistema de puntuación Elo es un método matemático empleado para
calcular la habilidad relativa de los jugadores en algunos deportes
tales como el Ajedrez. Suponga que el puntaje Elo promedio de los
jugadores de cierta categoría es de $1556$ con una desviación
estándar de $14$. Si pruebas estadísticas han sugerido que el
rendimiento de los ajedrecistas se distribuye normalmente. ¿Cuál es
la probabilidad de que un ajedrecista de dicha categoría tenga un
puntaje Elo superior a $1603$?.
La función generadora de momentos de cierta variable aleatoria de
Poisson $X$ es dada por
\begin{align*} M_x(t) = e^{4(e^t-1)} \end{align*} Calcule de
forma exacta y mediante aproximación a una distribución normal la
$\mathbb{P}(\mu - 1.3\sigma<X< \mu + 2.3\sigma)$.
Suponga que en una universidad se realizan pruebas de aptitud
anuales para observar las habilidades y competencias de sus
profesores. Si se sabe que el puntaje de estas pruebas se distribuye
gamma con un promedio de de $76.2$ y una varianza de $1935.48$.
¿Cuál es la probabilidad de que un profesor obtenga un puntaje
superior a \(79\) puntos?.
Si el profesor sabe que tendrá una puntuación superior a \(66\)
puntos, cuál es la probabilidad de que éste obtenga una puntuación
menor a \(80\) puntos?
Sea $X$ una variable aleatoria con función de densidad de
probabilidad chi-cuadrado dada por
\begin{align*} f(x) = \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)}x^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \text{ para } x>0 \end{align*}
Encuentre su función generadora de momentos de la variable aleatoria
\(X\).
Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria \(X\)
mediante la función generadora de momentos.
Por experiencia se sabe que el $20\%$ de las inversiones
realizadas por un experto en finanzas terminan en pérdida. Si se
seleccionan aleatoriamente $60$ inversiones realizadas por el
experto, ¿Cuál es la probabilidad de que más de $37$ pero menos de
$45$, no terminen en pérdida? Compare el resultado obtenido
mediante una aproximación Normal.
Sea $X$ una variable aleatoria con función de masa de probabilidad
binomial dada por
\begin{align*} f(x) = \left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right) p^x(1-p)^{n-x} \text{ para } x=0,1,2,\ldots,n \end{align*}
Encuentre su función generadora de momentos de la variable aleatoria
\(X\).
Encuentre la media, varianza, asimetría y curtosis de la variable
aleatoria \(X\) mediante la función generadora de momentos.
Suponga que se realiza un estudio estadístico y se encuentra que el
número de clientes que llega donde Pastora en media hora, es una
variable aleatoria Poisson con media de $4$ clientes. Basados en
lo anterior
¿Cuál es la probabilidad de que el próximo cliente en llegar donde
Pastora tarde al menos \(20\) minutos?
¿Cuál es la probabilidad de que lleguen donde Pastora en menos de
\(50\) minutos, \(3\) clientes, si se sabe que han transcurrido
\(24\) minutos y aún no llegan los \(3\) clientes?
Suponga una variable aleatoria $X$ con función de distribución de
probabilidad exponencial dada por
\begin{align*} f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \text{ para } x>0, \lambda>0 \end{align*}
Basado en lo anterior, calcule el segundo momento central de la
variable aleatoria.
Suponga que el tiempo de vida de un portátil MSI, en años, tiene una
distribución de Gamma con parámetro de forma y de escala dados por
$3$ y $1.5$ respectivamente. Calcule la probabilidad de que
falle antes de $6$ años de uso.