Jorge Iván Pérez

Lista de ejercicios

Suponga que $30\%$ de los solicitantes para cierto trabajo industrial posee capacitación avanzada en programación computacional. Los candidatos son elegidos aleatoriamente entre la población y entrevistados en forma sucesiva. Encuentre la probabilidad de que el primer solicitante con capacitación avanzada en programación sea el quinto o séptimo entrevistado.
Suponga que por Ley, la vida máxima de la patente para un nuevo medicamento es $17$ años. Si restamos el tiempo requerido por la FDA para someter a pruebas y aprobar el medicamento, se obtiene la vida real de la patente para el medicamento, es decir, el tiempo que la compañía tiene para recuperar los costos de investigación, desarrollo y obtener una utilidad. La distribución de los tiempos de vida reales de las patentes para nuevos medicamentos se da a continuación:

Años, $x$ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$f(x)$ 0.03 0.05 0.07 0.10 0.14 0.20 0.18 0.12 0.07 0.04
1. Encuentre el tiempo de vida real promedio de las patentes para nuevos medicamentos.
2. Encuentre la probabilidad de que el tiempo de vida real de las patentes se encuentre al menos a $1.5$ desviaciones estándar de la vida real promedio, y compare este resultado con el obtenido con el teorema de Chebyshev.
Por experiencia se sabe que el $20\%$ de las inversiones realizadas por un experto en finanzas terminan en pérdida. Si se seleccionan aleatoriamente $5$ inversiones realizadas por el experto
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una o tres, no terminen en pérdida?.
2. ¿Cuál es el número promedio de inversiones que no terminen en pérdida?.
En una tienda de barrio, el dueño exhibe $15$ ollas arroceras de la misma marca, $9$ negras y $6$ grises. Suponga que en el día, $7$ clientes compran cada uno, una olla en momentos diferentes. ¿Cuál es la probabilidad de que más de $2$ clientes hayan comprado arroceras de color gris?
Suponga que se tiene un total de tres cajas exactamente iguales, donde cada una contiene un animal encerrado, un conejo, un hamster y una cobaya. Si se trata de adivinar qué clase de animal hay en cada caja y $X$ representa la variable aleatoria discreta del numero de aciertos. Escriba la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria $X$ y calcule la esperanza y varianza de $Z= X-3X^2$ .
Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias discretas con función de probabilidad dada por: \begin{align*} f(x,y)=k\left(\frac{x+y}{xy}\right) \quad \quad x = 1,2,3; y = 2,3 \end{align*}
1. Calcule el valor $k$ que hace a la función de masa de probabilidad, una función de probabilidad bien definida.
2. Encuentre la correlación entre $X$ y $Z$ donde $Z = 6X$.
Sea $X$ una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades $f(x)$ dada por:

$x$ 1 3 4 5 7

$f(x)$ 0.31 0.13 0.15 0.18 0.23

Encuentre el coeficiente de asimetría, el cuál está dado por \begin{align*} \gamma_{1}&= \mathbb{E}\left[\left({\frac{X-\mu}{\sigma}}\right)^{3}\right]={\frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}}}={\frac{\mathbb{E}\left[(X-\mu)^{3}\right]}{(\mathbb{E}\left[(X-\mu)^{2}\right])^{3/2}}}\\ \gamma_{1}&=\frac{\mathbb{E}(X^3)-3\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(X)+2\mathbb{E}(X)^3}{\left[\mathbb{E}(X^2)- \mathbb{E}(X)^2)\right]^{3/2}} \end{align*}
Un granjero cultiva peras en su finca para posteriormente venderlas en la minorista. Dado que los pedidos realizados en la minorista son tan grandes, el granjero corre el riesgo de que algunas peras se echen a perder durante el tiempo de entrega. Suponga que en una entrega de $1000$ peras, el $10\%$ están echadas a perder. Con el fin de aceptar dicho pedido, en la minorista realizan una selección aleatoria de $15$ peras, y si encuentran más de $5$ peras echadas a perder, rechazan el pedido del granjero.
1. Cuál es el número promedio de peras echadas a perder en la muestra de $15$?.
2. Si entre las $15$ peras seleccionadas, ya han encontrado $3$ echadas a perder, ¿Cuál es la probabilidad de que no rechacen el pedido?.
Una empresa de exploración petrolera va a hacer una serie de perforaciones de sondeo en una zona determinada en busca de un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en un intento dado es $0.2$ .
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera perforación sea la primera en dar un pozo productivo?.
2. Si la empresa puede darse el lujo de perforar a lo sumo diez pozos, ¿cuál es la probabilidad de que no encuentre un pozo productivo?.
A partir de la siguiente función de masa de probabilidad \begin{align*} f(x)=\frac{\binom{2}{x}\binom{3}{3-x}}{\binom{5}{3}} \quad \quad \text{ para }x=0,1,2 \end{align*} Calcule el coeficiente de exceso de curtosis, el cual está dado por \begin{align*} \gamma_{2}&= \mathbb{E}\left[\left({\frac{X-\mu}{\sigma}}\right)^{4}\right] -3={\frac{\mu_{4}}{\sigma^{4}}} -3 ={\frac{\mathbb{E}\left[(X-\mu)^{4}\right]}{(\mathbb{E}\left[(X-\mu)^{2}\right])^{4/2}}} -3\\ \gamma_2&=\frac{\mathbb{E}(X^4)-4\mathbb{E}(X^3)\mathbb{E}(X)+6\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(X)^2 -3\mathbb{E}(X)^4}{\left[\mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\right]^2} -3 \end{align*}
Dado que ya hemos lanzado al aire una moneda balanceada diez veces y no obtuvimos caras, ¿cuál es la probabilidad de que debamos lanzar la moneda al menos dos veces más, para obtener la primera cara?
Sea $X$ el número de veces que fallará cierta máquina de control numérico: 1, 2 o 3 veces en un día dado, y $Y$ denota el número de veces que se llama a un técnico para una emergencia. Suponga que su distribución de probabilidad conjunta estará dada como

$p(x,y)$ $X$

$\mathbf{1}$ $\mathbf{2}$ $\mathbf{3}$

$Y$ $\mathbf{1}$ $0.05$ $0.05$ $0.10$

$\mathbf{3}$ $0.05$ $0.10$ $0.35$

$\mathbf{5}$ $k$ $0.20$ $0.10$

Calcule el $Corr(X,Y^2)$ .
Una moneda se lanza dos veces. Sea $X$ el número de caras en el primer lanzamiento y $Y$ el número total de caras en los $2$ lanzamientos. Si la moneda no está balanceada y la probabilidad de sello es dos veces la probabilidad de cara, calcule
1. la media y varianza de $X$ y $Y$
2. el coeficiente de asimetría de $X$ y $Y$
3. la correlación de $3X$ y $2Y$
Un sistema químico que surge de una reacción química tiene dos componentes importantes, entre otros, en una mezcla. La distribución conjunta que describe las proporciones $X$ y $Y$ de estos dos componentes está dada por \begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}2 & 0<x<y<1 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
1. Determine la esperanza condicional $\mathbb{E}(Y | X)$
2. Determine la esperanza condicional $\mathbb{E}(X | Y)$
El número de problemas que puede presentar la impresora del centro de documentación de la facultad al mes, es una variable aleatoria uniforme en el conjunto cerrado de $1$ a $6$ errores.
1. ¿Cuál es el número esperado de fallas que tenga la impresora?
2. Si la impresora ya ha presentado al menos $2$ fallas, ¿Cuál es la probabilidad de que presente exactamente $3$?
Considere la siguiente función de densidad de probabilidad \begin{align*} f(x) =\begin{cases}\frac{3}{2}\sqrt{x}, & 0< x < 1\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \end{align*}
1. Calcule la esperanza de $1/X$.
2. Calcule la esperanza de $2/X^2$
Suponga que el transito de Medellín afirma que $3$ de cada $10$ accidentes de tráfico se debe a que al menos uno de los implicados no pasó la prueba de alcoholemia. Si ocurren $15$ accidentes de tráfico un día cualquiera. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos $4$ pero menos de $7$ accidentes, no hayan sido causados por personas en estado de embriagues?.
Calcule la covarianza de las variables aleatorias $X$ y $Y$ que tienen la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta \begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}x+y & 0<x<1,\quad 0<y<1,\\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Una venta particular comprende cuatro artículos seleccionados al azar de un lote voluminoso que se sabe contiene $10\%$ de artículos defectuosos. Denote con $Y$ el número de artículos defectuosos entre los cuatro vendidos. Si los artículos defectuosos son devueltos para su reparación, y el costo de reparación está dado por $C = 3Y^2 + Y + 2$ . Encuentre el costo esperado de reparación de los artículos.
La función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias $X$ , $Y$ y $Z$ está dada por \begin{align*} f(x,y,z)=\begin{cases}4xyz^2; &0< x,y <1; 0< z<3 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*} Calcule
1. la correlación de $X$ y $Y$.
2. la correlación de $X$ y $Z$.
3. la correlación de $Y$ y $Z$.
Suponga que el tiempo medido en unidades de 100 horas, que se usa una licuadora en un hogar durante un año es una variable aleatoria continua $X$ con función de densidad de probabilidad dada por: \begin{align*} f(x) =\begin{cases}x & 0< x < 1 \\ 2-x & 1\leq x < 2 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \end{align*}
1. Calcule la media y varianza de la variable aleatoria $X$
2. Calcule la varianza de la variable aleatoria $Y=2X+3$.
3. Calcule la covarianza entre $X$ y $Y$.
La Facultad de Ciencias Económicas de cierta universidad realiza a nivel nacional, una encuesta a $13000$ estudiantes de economía y administración de último año, en la cual se observa que el $70\%$ de los encuestados, no están conformes con su carrera. Si se seleccionan al azar $200$ de los encuestados y se les pide su opinión, ¿Cuál es la probabilidad de que más de $60$ pero no más de $80$ no estén conformes con su carrera?.
Suponga en un proceso de producción, el número de fallas que tiene una maquina en un día antes de apagarse, es una variable aleatoria discreta $X$ con función de masa de probabilidad dada por \begin{align*} f(x)=\frac{(x^2+4)}{30} \quad \quad x=0,1,2,3 \end{align*}
1. Calcule el valor promedio de la variable aleatoria $X$.
2. Calcule la desviación estándar de la variable aleatoria $X$.
3. Encuentre la probabilidad de que la variable aleatoria $X$, se encuentre a lo más a $1.5$ desviaciones estándar de su media y compare el resultado obtenido con el teorema de Chebyshev.
De una población de consumidores, $60\%$ tienen fama de preferir una marca $A$ de pasta dental. Si se entrevista a un grupo de consumidores escogidos al azar,
1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos $5$ personas tengan que ser entrevistadas para hallar el primer consumidor que prefiera la marca $A$ de pasta dental?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más $12$ personas tengan que ser entrevistadas para hallar el tercer consumidor que prefiera la marca $A$ de pasta dental?
Dos estudiantes apuestan sobre el número de ejercicios correctos realizados por el profesor de matemáticas hasta que cometa un error. Si la probabilidad de que el profesor cometa una error en un ejercicio es de $0.08$ .
1. ¿Cuál es el promedio del número de ejercicios realizados por el profesor hasta cometer un error?.
2. Calcule la desviación estándar de la variable aleatoria $X$.
3. Si van 7 ejercicios y aún no se equivoca, ¿Cuál es la probabilidad de que se equivoque en el décimo ejercicio?
Sea $X$ una variable aleatoria continua con distribución de probabilidades $f(x)$ dada por \begin{align*} f(x)=\begin{cases}kx^2 & -5 \leq x \leq 3, \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
1. Encuentre el valor de $k$ que haga a $f(x)$ una función densidad de probabilidad.
2. Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria $Y=X^2$.
3. Encuentre la probabilidad de que la variable aleatoria $X$, se encuentre a lo más a 2.3 desviaciones estándar de su media y compare el resultado obtenido con el teorema de Chebyshev.
Calcule la probabilidad de que la siguiente función de densidad de probabilidad se encuentre a dos desviaciones estándar de la media y compare con el resultado dado por el teorema de Chebyshev. \begin{align*} f(x)=6x(1-x), \quad 0<x<1 \end{align*}
Suponga que cierto tipo de pequeñas empresas de procesamiento de datos están tan especializadas que algunas tienen dificultades para obtener utilidades durante su primer año de operación. La función de densidad de probabilidad que caracteriza la proporción $Y$ que obtiene utilidades está dada por \begin{align*} f(y)=\begin{cases}ky^4(1-y)^3 & 0\leq y \leq 1,\\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
1. ¿Cuál es el valor de $k$ que hace de la anterior una función de densidad válida?
2. Calcule la varianza de la variable aleatoria $Z=3Y-4$.
Suponga que se realiza un estudio estadístico y se encuentra que el número de clientes que llega donde Pastora en media hora, es una variable aleatoria Poisson con media de $4$ clientes.
1. ¿Cuál es el número promedio y desviación estándar de clientes que llegada donde pastora en $2$ horas?
2. Encuentre la probabilidad de que el número de clientes que llegan donde pastora en $2$ horas, se encuentre al menos a $2$ desviaciones estándar de su media y compare el resultado obtenido con el teorema de Chebyshev.
Sean $X$ y $Y$ son variables aleatorias que poseen la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta \begin{align*} f(x,y)=xye^{-x-y},\quad x>0,y>0 \end{align*} Entonces, a partir de ésta, calcule la covarianza de $6X^2$ y $3Y^3$ .
En una noche de tragos dos estudiantes de Estadística I van a un bar que posee una diana de dardos, y deciden apostar sobre el número de dardos lanzados por las personas, que golpearán o no la diana. Suponga que la probabilidad que una persona cualquiera golpe en la diana es de $10\%$ , y suponga además, que esa noche se lanzan un total de $300$ dardos. Si $X$ es la variable aleatoria del número de dardos que golpean la diana. ¿Cuál es la probabilidad de que golpeen al menos $42$ pero a lo más $50$ dardos?
Una empresa dulcera distribuye cajas de chocolates con un surtido de cremas, chiclosos y envinados. Suponga que cada caja pesa $1$ kilogramo, pero que los pesos individuales de cremas, chiclosos y envinados varían de una a otra caja. Para una caja seleccionada al azar, represente los pesos de las cremas y los chiclosos con $X$ y $Y$ , respectivamente, si se supone que la función de densidad conjunta de estas variables es \begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}24xy & 0\leq x\leq1;0\leq y\leq1; x+y\leq1 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
1. Calcule la esperanza de $Z = 3Y - 2X$
2. Calcule la varianza de $Z$
La cantidad diaria de vasos de café que toma un profesor normalmente, es una variable aleatoria uniforme en el conjunto cerrado de $3$ hasta $7$ vasos.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, un profesor tome entre $5$ y $6$ vasos, inclusive?.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, el número de tintos que toma un profesor se encuentre a más de $1.2$ desviaciones estándar de la media? Compare el resultado con el obtenido mediante el teorema de Chebyshev.
Si $X$ , $Y$ y $Z$ tienen la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta: \begin{align*} f(x,y,z)=\begin{cases}kxy^2z& 0<x<1;\quad 0<y<1;\quad 0<z<2 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
1. Calcule el valor $k$ que hace que la función de densidad de probabilidad conjunta esté bien definida.
2. Calcule $\mathbb{E}(X |Y > \frac{1}{2}, 1 < Z < 2)$
Se cree que de los $10000$ votantes que residen en una ciudad, $4000$ están a favor de la iniciativa de talar arboles para construir nuevas vías. Se seleccionan al azar $60$ votantes de los $10000$ y se les pregunta si están o no de acuerdo con dicha iniciativa.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre $30$ y $40$ votantes, inclusive, estén a favor de dicha iniciativa?.
2. ¿Cuál es el número esperado de votantes que estarán a favor de la iniciativa?
Dos personas, por turnos, tiran un dado imparcial hasta que una de ellas lanza un $6$ . La persona $A$ tiró primero, la $B$ en segundo, $A$ en tercero y así sucesivamente. En vista de que la persona $B$ tiró el primer $6$ , ¿cuál es la probabilidad de que $B$ obtenga el primer $6$ en su segundo tiro (es decir, en el cuarto tiro total)?
En una industria automotriz, se sabe que diez por ciento de los motores fabricados en una línea de ensamble son defectuosos. Si los motores se seleccionan al azar uno a la vez y se prueban, ¿cuál es la probabilidad de que el primer motor no defectuoso sea hallado en el segundo intento?
Luego de una revisión exhaustiva, se encuentra que en promedio una oblea de silicio producidas por un fabricante tienen dos defectos grandes. Si $X$ representa al número de defectos que posee una oblea, ¿Cuál es la probabilidad de que una oblea de silicio tenga más de cinco defectos grandes?
Un proveedor de queroseno tiene un tanque de $150$ galones que se llena al empezar cada semana. Su demanda semanal muestra un comportamiento de frecuencia relativo que aumenta de manera continua hasta $100$ galones y luego se nivela entre $100$ y $150$ galones. Si $Y$ denota la demanda semanal en cientos de galones, la frecuencia relativa de demanda puede ser modelada por \begin{align*} f(y)=\begin{cases}y & 0\leq y\leq 1 \\1 & 1<y\leq 1.5 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
1. Calcule la esperanza de la variable aleatoria $Y$.
2. Calcule la varianza de la variable aleatoria $Y$.
3. Calcule la asimetría de la variable aleatoria $Y$.
4. Calcule la curtosis de la variable aleatoria $Y$.
Sea $X$ la variable aleatoria del número de clientes que llega a una centro comercial en un periodo de una hora. Si la distribución acumulada de $X$ es: \begin{align*} F(x) =\begin{cases}0 & x < 0\\0.03 & 0\leq x < 1 \\ 0.12 & 1\leq x < 2 \\ 0.21 & 2\leq x < 3\\ 0.33 & 3\leq x < 4\\ 0.52 & 4\leq x < 5\\ 0.74 & 5\leq x < 6 \\ 0.89 & 6\leq x < 7 \\ 0.96 & 7\leq x < 8 \\ 1.00 & 8\geq x\end{cases} \end{align*}
1. Calcule la esperanza de $X$.
2. Calcule la esperanza de $Y=\sqrt{3X}$.

Años, \(x\)	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(f(x)\)	0.03	0.05	0.07	0.10	0.14	0.20	0.18	0.12	0.07	0.04

$p(x,y)$		$X$
$p(x,y)$		$\mathbf{1}$	$\mathbf{2}$	$\mathbf{3}$
$Y$	$\mathbf{1}$	$0.05$	$0.05$	$0.10$
	$\mathbf{3}$	$0.05$	$0.10$	$0.35$
	$\mathbf{5}$	$k$	$0.20$	$0.10$

\(x\)	1	3	4	5	7
\(f(x)\)	0.31	0.13	0.15	0.18	0.23