Suponga que el número de entregas que realiza un camión de
Servientrega en $1$ hora posee una función de masa de probabilidad
de la forma
\begin{align*} p(x)=\begin{cases}k(x^2+4) & x=0,1,2,3 \\ 0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Encuentre el valor \(k\) que hace que la función presentada, sea una
función de masa de probabilidad bien definida.
Encuentre la función de distribución acumulada.
Encuentre la probabilidad de que \(X\) sea a lo más de \(2\).
Encuentre la probabilidad de que \(X\) se al menos de \(1\), pero no
más de \(2\).
Encuentre \(F(1.2)\).
Suponga que se tiene un total de tres cajas exactamente iguales,
donde cada una de las cajas contiene un animal encerrado, a saber,
un conejo, un hamster y una cobaya. Si se trata de adivinar qué
clase de animal hay en cada caja, siendo $X$ la variable aleatoria
que representa el numero de aciertos. Escriba la función de masa de
probabilidad de la variable aleatoria $X$, su función de
distribución acumulada y calcule la probabilidad de que acierte al
menos $2$ animales.
Sean $X$ y $Y$ dos variables aleatorias discretas las cuales
pueden tomar como posibles valores $-1$, $0$, y $1$. En la
siguiente tabla se dan las probabilidades conjuntas para todos los
posibles valores de $X$ y $Y$.
Obtenga las funciones de probabilidad marginales de \(X\) y de
\(Y\).
Pruebe si las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) son independientes.
Calcule la \(\mathbb{P}(X=1|Y\leq 0)\).
Sea $X$ una variable aleatoria con distribución de probabilidades
$p(x)$ dada por:
\(X\)
\(\mathbf{-1}\)
\(\mathbf{3}\)
\(\mathbf{4}\)
\(\mathbf{5}\)
\(\mathbf{7}\)
\(p(x)\)
\(0.31\)
\(k\)
\(0.15\)
\(0.18\)
\(0.23\)
Encuentre el valor \(k\) que tal que \(p(x)\) sea una función de
masa de probabilidad bien especificada.
Calcule la función de distribución acumulada \(F(X)\).
Encuentre \(\mathbb{P}(X>3)\).
Suponga una función de probabilidad que representa el número de
automóviles blancos que vende un concesionario en un día está dada
por
\begin{align*} p(x) = k\binom{2}{x}\binom{3}{3-x} \quad \text{ para } x=0,1,2 \end{align*}
Encuentre el valor $k$ que hace que la función de probabilidad
esté bien definida y con esta función
Calcule la función de distribución acumulada \(F(X)\).
Realice el gráfico de la función de distribución acumulada \(F(X)\).
Calcule la probabilidad de que el número de automóviles blancos que
vende en un día sea a lo más \(1\).
Las mediciones en los sistemas científicos siempre están sujetas a
variación, algunas veces más que otras. Hay muchas estructuras para
los errores de medición y los estadísticos pasan mucho tiempo
modelándolos. Suponga que el error de medición $X$ de cierta
cantidad física es determinado por la siguiente función de densidad:
\begin{align*} f(x) =\begin{cases}k(3-x^2), & -1\leq x \leq 1\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \end{align*}
Determine \(k\), que hace que \(f(x)\), sea una función de densidad
válida.
Calcule la función de distribución acumulada \(F(X)\).
Calcule la probabilidad de que un error aleatorio en la medición sea
menor que \(\frac{1}{2}\).
Para esta medición específica, resulta indeseable si la magnitud del
error (es decir, \(|x|\)) es mayor que \(0.8\). ¿Cuál es la
probabilidad de que esto ocurra?
Suponga una función de densidad de probabilidad conjunta de las
variables aleatorias $X$, $Y$ y $Z$, la cual se define como
\begin{align*} f(x,y,z)=\begin{cases}kxyz^2 & 0< x < 1; 0< y <1; 0< z<3 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
A partir de esta ecuación, calcule
El valor \(k\) que hace que la función \(f(x,y,z)\), sea una función
de densidad válida.
La función de densidad marginal conjunta de \(Y\) y \(Z\).
La densidad marginal de \(Y\).
\(\mathbb{P}(\frac{1}{4}< X < \frac{1}{2}, Y > \frac{1}{3}, 1 < Z < 2)\)
\(\mathbb{P}(0 < X < \frac{1}{2}| Y = \frac{1}{4} , Z = 2)\)
Encuentre la función de masa de probabilidad de la variable
aleatoria \(X\).
Calcule la probabilidad de que \(X\) sea mayor a \(4\).
Calcule la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre
entre \(2\) y \(5\), inclusive.
Suponga que cierto tipo de pequeñas empresas de procesamiento de
datos están tan especializadas que algunas tienen dificultades para
obtener utilidades durante su primer año de operación. La función de
densidad de probabilidad que caracteriza la proporción $X$ de
utilidades que obtiene una pequeña empresa durante su primer año
está dada por
\begin{align*} f(x)=\begin{cases}kx^4(1-x)^3 & 0\leq x \leq 1,\\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
¿Cuál es el valor de \(k\) que hace de la anterior una función de
densidad válida?
Calcule la probabilidad de que la proporción de utilidades que
obtiene una empresa pequeña durante su primer año sea de al menos el
\(50\%\).
Calcule la probabilidad de que la proporción de utlidades que
obtiene una empresa pequeña durante su primer año sea de al menos el
\(80\%\), pero no más del \(90\%\).
Suponga que a partir de una gran cantidad de datos históricos, se
sabe que $X$ representa el número de automóviles que llegan a una
intersección específica durante un periodo de $20$ segundos, la
cual puede ser determinada mediante la siguiente función de
probabilidad discreta
\begin{align*} f(x)=\frac{e^{-6} 6^x}{x!} \text{ para } x=0,1,2,\dots \end{align*}
Calcule la probabilidad de que en un periodo específico de \(20\)
segundos más de 8 automóviles lleguen a la intersección.
Calcule la probabilidad de que sólo lleguen \(2\) automóviles.
Sea $X$ la variable aleatoria que determina el número de clientes
que llega a una centro comercial en un periodo de una hora. Si la
distribución acumulada de $X$ está dada por:
\begin{align*} F(x) =\begin{cases}0 & x < 0\\0.03 & 0\leq x < 1 \\ 0.12 & 1\leq x < 2 \\ 0.21 & 2\leq x < 3\\ 0.33 & 3\leq x < 4\\ 0.52 & 4\leq x < 5\\ 0.74 & 5\leq x < 6 \\ 0.89 & 6\leq x < 7 \\ 0.96 & 7\leq x < 8 \\ 1.00 & 8\geq x\end{cases} \end{align*}
Encuentre la función de masa de probabilidad de la variable
aleatoria \(X\).
Calcule la probabilidad de que el número de clientes que llega al
centro comercial sea mayor a \(4\).
Calcule la probabilidad de que el número de clientes que llega al
centro comercial se encuentre entre \(3\) y \(7\), inclusive.
Calcule la probabilidad de que el número de clientes que llega al
centro comercial sea mayor a \(4\) pero como máximo de \(8\).
Calcule la probabilidad de que llegue un número diferente de \(5\)
clientes al centro comercial.
Se sabe por ley que la vida máxima de la patente para un nuevo
medicamento es de 17 años. Si restamos el tiempo requerido por la
FDA para someter a pruebas y aprobar el medicamento, se obtiene la
vida real de la patente para el medicamento, es decir, el tiempo que
la compañía tiene para recuperar los costos de investigación y
desarrollo, para obtener una utilidad. La distribución de los
tiempos de vida reales de las patentes para nuevos medicamentos se
da a continuación:
\(X\) (en años)
\(\mathbf{3}\)
\(\mathbf{4}\)
\(\mathbf{5}\)
\(\mathbf{6}\)
\(\mathbf{7}\)
\(\mathbf{8}\)
\(\mathbf{9}\)
\(\mathbf{10}\)
\(\mathbf{11}\)
\(\mathbf{12}\)
\(\mathbf{13}\)
\(p(x)\)
\(0.03\)
\(0.05\)
\(0.07\)
\(0.10\)
\(0.14\)
\(0.20\)
\(0.18\)
\(0.12\)
\(0.07\)
\(0.03\)
\(0.01\)
Encuentre la función de distribución acumulada \(F(X)\).
Realice el gráfico de la función de distribución acumulada \(F(X)\).
Calcule la probabilidad de que el tiempo de vida en años sea a lo
más \(9\) años.
Calcule la probabilidad de que el tiempo de vida en años sea más de
\(8\) años, pero no más de \(11\).
Sea $X$ una variable aleatoria con distribución de probabilidades
dada por
\begin{align*} f(x)=\begin{cases}kx^2 & -5 \leq x \leq 3, \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Encuentre el valor de \(k\) que hace a \(f(x)\) una función de
densidad de probabilidad.
Calcule la función de distribución acumulada.
Calcular \(\mathbb{P}(X\geq 2.3)\) y
\(\mathbb{P}(-3 \leq X \leq 3)\)
Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias con función de
probabilidad conjunta dada por
\begin{align*} f(x,y)=xye^{-x-y},\quad x>0,y>0 \end{align*}
La \(f(x,y)\) es efectivamente una función de densidad de
probabilidad conjunta bien definida? de no serlo, por qué constante
\(k\) la multiplicaría?.
Determine la distribución marginal de \(X\).
Determine la distribución marginal de \(Y\).
¿Cuál es la probabilidad de \(4<X<6\) y \(Y>2\)?.
Determine la distribución condicional \(f(X | 1<Y<4)\).
Si se sabe que \(Y>5\), entonces, cuál es la probabilidad de que
\(X<8\).
Considere las variables aleatorias $X$ y $Y$ que representan el
número de vehículos que llegan a dos esquinas de calles separadas
durante cierto periodo de $2$ minutos. Estas esquinas de las
calles están bastante cerca una de la otra, así que es importante
que los ingenieros de tráfico se ocupen de ellas de manera conjunta
si fuera necesario. Se sabe que la distribución conjunta de $X$ y
$Y$ es
\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}\frac{9}{16}\frac{1}{4^{x+y}} & x=0,1,2,\ldots;\quad y=0,1,2,\ldots \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
¿Son independientes las dos variables aleatorias \(X\) y \(Y\)?
Justifique su respuesta.
¿Cuál es la probabilidad de que, durante el periodo en cuestión,
lleguen menos de \(4\) vehículos a las dos esquinas?.
De un saco de frutas que contiene $3$ naranjas, $2$ manzanas y
$3$ plátanos se selecciona una muestra aleatoria de $4$ frutas.
Si $X$ es el número de naranjas y $Y$ es el número de manzanas
en la muestra, calcule
la distribución de probabilidad conjunta de \(X\) y \(Y\).
\(\mathbb{P}[(X, Y) \in A]\), donde A es la región dada por
\(\{(x, y) | x + y \leq 2\}\).
Sea $X$ una variable aleatoria continua con
$F(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$, para $x>0$, encuentre la función de
densidad de probabilidad y calcule $\mathbb{P}(X<20)$.
Considere a $X$ la variable aleatoria que representa la suma de
las caras para el lanzamiento de dos dados, con f.m.p dada por
\begin{align*} f(x)=\begin{cases}\frac{6-|7-x|}{36} & x = 2,3,\ldots,12 ,\\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Compruebe si es efectivamente una función de masa de probabilidad y
calcule \(F(x)\).
Calcule la probabilidad de que la suma de las caras se encuentren
entre \(5\) y \(9\) inclusive.
Calcule la probabilidad de que la suma de las caras sean mayores que
\(7\) pero a lo más \(10\).
Considere la siguiente función de densidad de probabilidad que
representa la proporción de personas que están a favor de una
reforma legislativa
\begin{align*} f(x) =\begin{cases}k\sqrt{x}, & 0< x < 1\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \end{align*}
Encuentre el valor de \(k\) para que \(f(x)\) sea una función de
densidad de probabilidad.
Calcule \(F(x)\) y utilice el resultado para calcular la
\(\mathbb{P}(0.24 < X < 0.63)\).
Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias discretas con función de
probabilidad dada por: $f(x,y)=k(\frac{x+y}{xy})$,para
$x=1,2,3$; $y=1,2,3$.
Encuentre el valor de \(k\) que hace que \(f(x,y)\) sea una función
de masa de probabilidad conjunta.
Encuentre la distribución marginal de \(X\) y \(Y\).
Encuentre la distribución condicional de \(X\) dado \(Y=1\).
las v.a \(X\) y \(Y\) son independientes?.
Si la distribución de probabilidad conjunta de $X$ y $Y$ está
dada por
\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}\frac{x+y}{30} & x=0,1,2,3; y=0,1,2 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Calcule
\(\mathbb{P}(X \leq 2, Y = 1)\)
\(\mathbb{P}(X>Y)\).
\(\mathbb{P}(X+Y = 4)\).
\(\mathbb{P}(X>2|Y\leq1)\).
Sea $X$ la variable aleatoria que da el número de caras menos el
número de cruces en cuatro lanzamientos de una moneda. Liste los
elementos del espacio muestral $S$ para los cuatro lanzamientos de
la moneda y asigne un valor $x$ a cada punto muestral de la
variable aleatoria $X$.
Obtenga la función de masa de probabilidad y la función de
distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\)
Suponga que la moneda está cargada, de manera que existe el doble de
probabilidad de que ocurra una cara que una cruz. Obtenga la función
de masa de probabilidad y la función de distribución acumulada de la
variable aleatoria \(X\).
Bajo las dos situaciones anteriores, cuál es la probabilidad de que
salga al menos \(3\) caras?.
El tiempo que pasa, en horas, para que un radar detecte entre
conductores sucesivos a los que exceden los límites de velocidad es
una variable aleatoria continua con una función de distribución
acumulativa
\begin{align*} F(x) =\begin{cases}0, & 0< x\\ 1-e^{-x/10}, & x \geq 0 \end{cases} \end{align*}
Calcule la probabilidad de que el tiempo que pase para que el radar
detecte entre conductores sucesivos a los que exceden los límites de
velocidad sea menor de $12$ minutos
Usando la función de distribución acumulativa de \(X\)
Utilizando la función de densidad de probabilidad de \(X\).
Los tubos de magnetrón se producen en una línea de ensamble
automatizada. Periódicamente se utiliza un plan de muestreo para
evaluar la calidad en la longitud de los tubos; sin embargo, dicha
medida está sujeta a incertidumbre. Se considera que la probabilidad
de que un tubo elegido al azar cumpla con las especificaciones de
longitud es $0.99$. Se utiliza un plan de muestreo en el cual se
mide la longitud de $5$ tubos elegidos al azar.
Muestre que la función de probabilidad de \(Y\), el número de tubos
de cada 5 que cumplen con las especificaciones de longitud, está
dada por la siguiente función de probabilidad discreta:
\(f(y)=\frac{5!}{y!(5-y)!}(0.99)^y(0.01)^{5-y}\)
Suponga que se eligen artículos de la línea al azar y \(3\) no
cumplen con las especificaciones. Utilice la \(f(y)\) anterior para
apoyar o refutar la conjetura de que hay \(0.99\) de probabilidades
de que un solo tubo cumpla con las especificaciones.
Si $X$, $Y$ y $Z$ tienen la siguiente función de densidad de
probabilidad conjunta:
\begin{align*} f(x,y,z)=\begin{cases}kxy^2z& 0<x<1;0<y<1; 0<z<2 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Calcule el valor \(k\) para que hace que \(f(x,y,z)\) sea una
función de densidad de probabilidad conjunta.
Calcule las distribuciones marginales \(g(x)\), \(h(y)\), \(i(z)\),
\(j(x,y)\), \(k(x,z)\) y \(l(y,z)\).
Calcule \(\mathbb{P}(X < \frac{1}{4}, Y > \frac{1}{2}, 1 < Z < 2)\).
Calcule
\(\mathbb{P}(X < \frac{1}{3} | Y < \frac{1}{8}, Z > \frac{2}{3})\).
Suponga que el tiempo medido en unidades de $100$ horas, que se
usa una licuadora en un hogar durante un año es una v.a continua
$X$ con función de densidad de probabilidad dada por:
\begin{align*} f(x) =\begin{cases}x & 0< x < 1 \\ 2-x & 1\leq x < 2 \\ 0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Pruebe si efectivamente es una función de densidad de probabilidad,
de no serlo, por qué constante \(k\) multiplicaría la función?.
Calcule la probabilidad de que en un año una familia use menos de
\(120\) horas la licuadora.
Calcule la probabilidad de que en un año una familia use la
licuadora entre \(65\) y \(100\) horas.
Una moneda se lanza dos veces. Sea $X$ el número de caras en el
primer lanzamiento y $Y$ el número total de caras en los $2$
lanzamientos. Si la moneda no está balanceada y la probabilidad de
sello es dos veces la probabilidad de cara, calcule
La distribución de probabilidad conjunta de \(X\) y \(Y\).
La distribución marginal de \(X\).
La distribución marginal de \(Y\).
La probabilidad de que ocurra al menos \(1\) cara.
Una empresa dulcera distribuye cajas de chocolates con un surtido de
cremas, chiclosos y envinados. Suponga que cada caja pesa $1$
kilogramo, pero que los pesos individuales de cremas, chiclosos y
envinados varían de una a otra cajas. Para una caja seleccionada al
azar, represente los pesos de las cremas y los chiclosos con $X$ y
$Y$, respectivamente, y suponga que la función de densidad
conjunta de estas variables es
\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}24xy; & 0\leq x\leq1;0\leq y\leq1; x+y\leq1 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Calcule la probabilidad de que en una caja dada los envinados
representen más de la mitad del peso.
Calcule la densidad marginal para el peso de las cremas.
Calcule la probabilidad de que el peso de los chiclosos en una caja
sea menor que \(1/8\) de kilogramo, si se sabe que las cremas
constituyen \(3/4\) partes del peso.
Sean $X$ y $Y$ dos variables aleatorias con función de
probabilidad dada por
\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}k(3x-y) & 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 3; x < y + 0.5 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Obtener el valor \(k\) que hace que la función esté bien definida y
encuentre la función de distribución acumulada conjunta.
¿Cuál es la probabilidad de que \(X<3/2\) y \(Y<2\)?.
Obtenga las funciones marginales para \(X\) y \(Y\).
Obtenga las función de distribución acumulada de \(X\) y de \(Y\).
Calcule \(\mathbb{P}(0.8<X<1.6)\) y \(\mathbb{P}(Y>2.3)\).
Calcule \(\mathbb{P}(0.8<X<1.6|Y>2.3)\).
Pruebe si \(X\) y \(Y\) son independientes.
Suponga una empresa que fabrica pelotas locas con diámetros que
oscilan entre $4$ y 8 centímetros. Si $X$ es la variable
aleatoria que representa el diámetro de las pelotas locas, y la
empresa sabe que la función de probabilidad de $X$ es de la forma
\begin{align*} f(x) =\begin{cases}\frac{x}{24}, & 4\leq x \leq 8\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \end{align*}
Prueba si la función de probabilidad está bien definida.
Calcule la probabilidad de que una pelota loca tenga un diámetro
entre \(3\) y \(6\) centímetros.
Suponga que la función de probabilidad conjunta de un sistema
químico puede ser representado como
\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}kx^2 & 0<x<y<1 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Determine la distribución marginal \(g(x)\) de la proporción \(X\) y
verifique que sea una función de densidad válida.
¿Cuál es la probabilidad de que la proporción \(Y\) sea menor que
\(0.5\), dado que \(X\) es \(0.7\)?.
¿Cuál es la probabilidad de que la proporción \(X\) sea mayor que
\(0.5\), dado que \(Y\) es \(0.7\)?.
Sean $X$ y $Y$ variables aleatorias independientes tal que sus
distribuciones marginales son $g(x)=3x^2$ para $0<x<1$ y
$h(y)=2y$ para $0<y<1$. Calcule
$\mathbb{P}(X\leq\frac{1}{3}|Y=\frac{1}{2})$.
Suponga una función de masa de probabilidad dada por
\begin{align*} p(x)=k\binom{10}{x}\binom{15}{5-x} \text{ para } x = 0,1,2,3,4,5 \end{align*}
Calcule el valor \(k\) que hace a \(p(x)\) una función de masa de
probabilidad bien definida.
Calcule la \(\mathbb{P}(X\geq 3)\).
Calcule la \(\mathbb{P}(X\geq 3|X<5)\).
Sea $f(x)=\frac{9}{2}x^2-x$, para $0<x<1$, la distribución de
probabilidad de una variable aleatoria $X$, encuentre la función
de distribución acumulada y con ésta, calcule $\mathbb{P}(X<0.3)$.
Sea $X$ una variable aleatoria continua que representa el tiempo,
en minutos, que tarda un hamster en superar un laberinto, tal que,
la función de densidad de probabilidad $f(x)$ está dada por:
\begin{align*} f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\theta^2}e^{-x^2/(2\theta^2)} & x > 0;\quad \theta > 0,\\0 & \text{En otro caso}\end{cases} \end{align*}
Verifique si \(f(x)\) es efectivamente una función de densidad de
probabilidad.
Suponga que \(\theta = 100\). Cuál es la probabilidad de que el
hamster tarde a lo más de \(200\) minutos en superar el laberinto? y
cuál es la probabilidad de que tarde al menos \(200\) minutos?.
De una expresión para la función de distribución acumulada
\(F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)\)?.
Suponga la siguiente función de probabilidad para las variables
aleatorias $X$ y $Y$
Evalúe la distribución marginal de \(X\).
Evalué la distribución marginal de \(Y\).
Calcule \(\mathbb{P}(Y = 2 | X = 1)\).
Calcule \(\mathbb{P}(X<2|Y\leq1)\).
Pruebe si las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) son independientes.
Un sistema químico que surge de una reacción química tiene dos
componentes importantes, entre otros, en una mezcla. La distribución
conjunta que describe las proporciones $X$ y $Y$ de estos dos
componentes está dada por
\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}2 & 0<x<y<1 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Determine la distribución marginal de \(X\).
Determine la distribución marginal de \(Y\).
¿Cuál es la probabilidad de que las proporciones del componente
generen los resultados \(X < 0.2\) y \(Y > 0.5\)?.
Determine la distribución condicional \(f(X | Y)\).
Si se sabe que \(Y>0.2\), entonces, cuál es la probabilidad de que
\(X<0.1\).
Sea $X$ el número de veces que fallará cierta máquina de control
numérico: $1$, $2$ o $3$ veces en un día dado. Y sea $Y$ el
número de veces que se llama a un técnico para una emergencia, su
distribución de probabilidad conjunta estará dada como
Evalúe la distribución marginal de \(X\).
Evalué la distribución marginal de \(Y\).
Calcule \(\mathbb{P}(Y = 3 | X = 2)\).
Calcule \(\mathbb{P}(X\geq2|Y\leq3)\).
Pruebe si las variables aleatorias \(X\) y \(Y\) son independientes.
En funcion de su prioridad, un programa para computadora espera en
la fila de entrada cierto tiempo, después del cual lo ejecuta el
procesador central en un lapso dado. La función de densidad conjunta
para los tiempos de espera $X$ (en minutos) y ejecución $Y$ (en
segundos) se determina por
\begin{align*} f(x,y)=\begin{cases}2e^{-\left(\frac{x}{5}+10y\right)} & x,y > 0 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
con función de distribución acumulada conjunta dada por
\begin{align*} F(x,y)=\begin{cases}\left[1-e^{-\frac{x}{5}}\right] \left[1-e^{-10y}\right] & x,y > 0 \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}
Obtener la probabilidad conjunta de que el tiempo de espera no sea
mayor de ocho minutos y el de ejecución no sea mayor de \(12\)
segundos.
Si se sabe que el tiempo de espera es mayor a seis minutos, calcule
la probabilidad de que el tiempo de ejecición sea menor a \(15\)
segundos.
Obtener las funciones de densidad marginal y probar si estos lapsos
de tiempo son variables aleatorias independientes.
Sean $X$ y $Y$ variables aleatorias continuas distribuidas
conjuntamente con $f(x,y)=kxy$ para $0<x<5$, $1<y<x$. El valor
de $k$ que hace que $f(x,y)$ sea una función de densidad de
probabilidad conjunta es?