Momentos
Se define al $r$-ésimo momento alrededor del origen de una
variable aleatoria $X$ de la forma
\begin{align*} \mu^´_r = \mathbb{E}(X^r) =\begin{cases} \sum_{x}x^rp(x) & \text{ si } X \text{ es discreta} \\ \int_{-\infty}^\infty x^rf(x) \text{ d}x & \text{ si } X \text{ es continua} \end{cases} \end{align*}
mientras que, el $r$-ésimo momento central de la variable
aleatoria $X$ es de la forma
\begin{align*} \mu_r = \mathbb{E}([X-\mu]^r) =\begin{cases} \sum_{x}(x-\mu)^rp(x) & \text{ si } X \text{ es discreta} \\ \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^rf(x) \text{ d}x & \text{ si } X \text{ es continua} \end{cases} \end{align*}
En este caso, se tendrá que en el caso particular cuando $r = 1$, se
dirá que el primer momento central es igual al primero momento
alrededor del origen.
Es decir, que
\begin{align*} \mu_1 &= \mu^´_1 \\ \mathbb{E}([X-\mu]) &= \mathbb{E}(X) \end{align*}
Función generadora de momentos
La función generadora de momentos de la variable aleatoria $X$ es el
valor esperado de $e^{xt}$, se denota por $M_x(t)$ y está dado por
\begin{align*} M_x(t) = \mathbb{E}(e^{xt}) =\begin{cases} \sum_{x}e^{xt}p(x) & \text{ si } X \text{ es discreta} \\ \int_{-\infty}^\infty e^{xt}f(x) \text{ d}x & \text{ si } X \text{ es continua} \end{cases} \end{align*}
Teorema: Cálculo de momentos a partir de la función generadora de momentos
Si $X$ es una variable aleatoria con función generadora de momentos
$M_x(t)$, entonces
\begin{align*} \frac{\text{d}^rM_x(t)}{\text{d}t^r}\Bigg|_{t=0}=\mathbb{E}(X^r) \end{align*}
Teorema de unicidad
Sean $X$ y $Y$ dos variables aleatorias con funciones generadoras de
momentos $M_x(t)$ y $M_y(t)$, entonces si para todos los valores de
$t$ se encuentra que $M_x(t) = M_y(t)$ se tendrá por tanto que $X$
y $Y$ tendrán la misma distribución de probabilidad.
Teorema: Convolución de variables aleatorias
Si $X_1. X_2, \ldots, X_n$ son variables aleatorias independientes con
función generadora de momentos
$M_{x_1}(t), M_{x_2}(t), \ldots, M_{x_n}(t)$, respectivamente, y sea
$Y$ la convolución de las variables aleatorias
$X_1. X_2, \ldots, X_n$, tal que, $Y = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$,
entonces se tendrá que la función generadora de momentos de $Y$ estará
dada por
\begin{align*} M_{y}(t) = M_{x_1}(t) M_{x_2}(t) \ldots M_{x_n}(t) \end{align*}
Propiedades de función la función generadora de momentos
Si $X$ es una variable aleatoria y $a$ una constante entonces se
tendrá
$M_{x+a}(t) = e^{at}M_x(t)$$M_{ax}(t) = M_x(at)$