Distribuciones de probabilidad continuas

Distribución Uniforme Continua

Se dice que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución uniforme continua, definida en el intervalo $(a,b)$, si su función de probabilidad está dada por \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} \quad \quad & a\leq x\leq b \\ 0 \quad \quad & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}

Media y varianza Uniforme Continua

Si $X\sim Unif(a,b)$, entonces se puede probar que la media y varianza de la variable aleatoria $X$ están dadas por \begin{align*} \mathbb{E}(X) = \frac{b+a}{2} \quad \quad Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}

Distribución Acumulada Uniforme Continua

Si $X\sim Unif(a,b)$, entonces se puede probar que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria $X$ es de la forma \begin{align*} F(x) = \frac{x-a}{b-a} \quad \quad & a\leq x\leq b \end{align*}

Ejercicio

Suponga que el tiempo máximo que se puede reservar una sala de conferencias grande en cierta empresa son cuatro horas. Por experiencia se sabe que la sala es reservada con mucha frecuencia, tanto para conferencias extensas como para conferencias breves, de hecho, se puede suponer que la duración \(X\) de una conferencia tiene una distribución uniforme en horas en el intervalo \([0, 4]\). Basado en lo anterior

  1. Calcule la función de densidad de probabilidad \(f(x)\) y la función de distribución acumulada \(F(X)\) para el tiempo que dura una conferencia.
  2. Cuál es la probabilidad de que una conferencia dure menos de \(2\) horas?
  3. Si una conferencia lleva más de \(2\) horas, cuál es la probabilidad de que dure a lo más \(3\) horas?
  4. Cuál es el tiempo medio y la desviación estándar de la duración de una conferencia?

Solución

  1. Del enunciado anterior, se menciona que la duración de las conferencias sigue una distribución uniforme con límite mínimo \(a=0\), y límite máximo \(b=4\), y por tanto, se tendrá que la función de densidad de probabilidad estará dada por \[\begin{align*} f(x) = \frac{1}{4-0} = \frac{1}{4} \quad \text{ para } 0\leq x\leq 4 \end{align*}\] Ahora, al calcular la función de distribución acumulada se tendrá que \[\begin{align*} F(x) = \frac{x-0}{4-a} = \frac{x}{4} \quad \text{ para } 0\leq x\leq 4 \end{align*}\]
  2. En este punto estamos interesados en calcular la probabilidad de que una conferencia dure menos de \(2\) horas, es decir, estamos interesados en calcular \[\begin{align*} \mathbb{P}(X<2) \end{align*}\] en donde, al estar en una situación de una distribución continua, se tendrá que la probabilidad planteada es equivalente a \[\begin{align*} \mathbb{P}(X<2) = \mathbb{P}(X \leq 2) \end{align*}\] y por tanto, al emplear la función de distribución acumulada \(F(X)=\mathbb{P}(X\leq x)\) se tendrá que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X<2) &= F(2) \\ &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \\ &= 0.5 \end{align*}\] Y por tanto se tendrá una probabilidad del \(50\%\) de que una conferencia en particular tarde menos de \(2\) horas.
  3. A diferencia del caso anterior, en éste punto estamos interesados en calcular una probabilidad condicional, en donde nos piden la probabilidad de que una conferencia dure como máximo \(3\) horas, cuando se sabe que ésta conferencia ya lleva más de \(2\) horas y aún no termina, es decir \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq 3 | X>2) \end{align*}\] entonces, al aplicar la definición de probabilidad condicional, tendremos que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq 3 | X>2) &= \frac{\mathbb{P}(X\leq 3 \cap X>2)}{\mathbb{P}(X>2)} \\ &= \frac{\mathbb{P}(2 \leq X\leq 3)}{1 - \mathbb{P}(X\leq 2)} \\ &= \frac{\mathbb{P}(X\leq 3) - \mathbb{P}(X\leq 2)}{1 - \mathbb{P}(X\leq 2)} \\ \end{align*}\] Ahora, al aplicar la función de distribución acumulada \(F(X)=\mathbb{P}(X\leq x)\) se tendrá que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq 3 | X>2) &= \frac{\mathbb{P}(X\leq 3) - \mathbb{P}(X\leq 2)}{1 - \mathbb{P}(X\leq 2)} \\ &= \frac{F(3) - F(2)}{1 - F(2)} \\ &=\frac{\frac{3-0}{4-0} - \frac{2-0}{4-0}}{1 - \frac{2-0}{4-0}} \\ &=\frac{\frac{3}{4} - \frac{2}{4}}{1 - \frac{2}{4}} \\ &=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{4}} \\ &= \frac{1}{2} \\ &= 0.5 \end{align*}\] Y en consecuencia, se tendrá que si una conferencia ha durado más de \(2\) horas y aún no termina, la probabilidad de que cure como máximo \(3\) horas es de \(50\%\).
  4. Finalmente, estamos interesados en calcular el promedio y desviación estándar, del número de horas que se reserva la sala de conferencias, y como, la distribución de probabilidad asociada a la variable aleatoria es una uniforme, tendremos que la media de la distribución estará dada por \[\begin{align*} \mathbb{E}(X) &= \frac{4+0}{2} \\ &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \end{align*}\] mientras que la varianza estará dada por \[\begin{align*} Var(X) &= \frac{(4-0)^2}{12} \\ &= \frac{4^2}{12} \\ &= \frac{16}{12} \\ &= 1.33333 \end{align*}\] En donde, dada la relación de la varianza con la desviación estándar, tendremos que \[\begin{align*} Sd(X) &= \sqrt{Var(X)}\\ &= \sqrt{1.33333}\\ &= 1.154699 \end{align*}\] Por lo cual tendremos que, el número promedio de horas que se reserva la sala de conferencias es de \(2\) horas, con una desviación estándar de \(1.15\) horas.

Función Gamma

La función gamma se define como \begin{align*} \Gamma(\alpha) = \int^\infty_0 t^{\alpha-1}e^{-t} dt \end{align*}

Propiedades Función Gamma

  1. \(\Gamma(\alpha) = (\alpha-1)\Gamma(\alpha -1)\), para todo \(\alpha>0\)
  2. \(\Gamma(n) = (n-1)!\), siendo \(n\) un entero positivo.
  3. \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)

Ejercicio

Suponga que se tiene interés en calcular los siguiente valores con la función gamma

  1. \(\Gamma(5)\)
  2. \(\Gamma(3.5)\)
  3. \(\Gamma(2.9)\)

Solución

  1. En este caso estamos interesados en calcular el valor de la función gamma, cuando \(\alpha=5\), en donde se observa que este valor es un entero y por tanto \[\begin{align*} \Gamma(5) &= (5-1)!\\ &= 4! \\ &= 4\times 3 \times 2 \times 1 &= 24 \end{align*}\]
  2. A diferencia del caso anterior, en éste el valor de la función gamma que nos piden no es un entero, y por tanto, como \(\alpha=3.5\) entonces el valor de la función gamma será de la forma \[\begin{align*} \Gamma(3.5) &= (3.5-1)\Gamma(3.5 -1) \\ &= (2.5)\Gamma(2.5) \\ &= (2.5)(2.5-1)\Gamma(2.5 -1) \\ &= (2.5)(1.5)\Gamma(1.5) \\ &= (2.5)(1.5)(1.5 - 1)\Gamma(1.5 - 1) \\ &= (2.5)(1.5)(0.5)\Gamma(0.5) \\ \end{align*}\] Y como \(\Gamma(0.5)=\sqrt{\pi}\), entonces tendremos que \[\begin{align*} \Gamma(3.5) &= (2.5)(1.5)(0.5)\Gamma(0.5) \\ &=(2.5)(1.5)(0.5)(\sqrt{\pi})\\ &= 3.323351 \end{align*}\]
  3. A diferencia del caso anterior, en éste el valor de la función gamma que nos piden no es un entero, y por tanto, como \(\alpha=3.5\) entonces el valor de la función gamma será de la forma \[\begin{align*} \Gamma(3.5) &= (3.5-1)\Gamma(3.5 -1) \\ &= (2.5)\Gamma(2.5) \\ &= (2.5)(2.5-1)\Gamma(2.5 -1) \\ &= (2.5)(1.5)\Gamma(1.5) \\ &= (2.5)(1.5)(1.5 - 1)\Gamma(1.5 - 1) \\ &= (2.5)(1.5)(0.5)\Gamma(0.5) \\ \end{align*}\] Y como por propiedades tenemos que \(\Gamma(0.5)=\sqrt{\pi}\), entonces al reemplazar tendremos que \[\begin{align*} \Gamma(3.5) &= (2.5)(1.5)(0.5)\Gamma(0.5) \\ &=(2.5)(1.5)(0.5)(\sqrt{\pi})\\ &= 3.323351 \end{align*}\]
  4. En este punto estamos interesados en calcular el valor de la función gamma de \(2.9\), pero en este caso no podremos calcular mediante propiedades el valor de la función ya que \[\begin{align*} \Gamma(2.9) &= (2.9-1)\Gamma(2.9 -1) \\ &= (1.9)\Gamma(1.9) \\ &= (1.9)(1.9-1)\Gamma(1.9 -1) \\ &= (1.9)(0.9)\Gamma(0.9) \end{align*}\] No es posible calcular de forma manual mediante propiedades el valor de la función Gamma cuando el valor \(\alpha\) no es un entero o terminado en \(0.5\), y en consecuencia para calcular el valor de interés, se requerirá hacer una aproximación numérica para la integral \[\begin{align*} \Gamma(0.9) = \int_{0}^\infty t^{0.9 - 1} e^{-t} dt \end{align*}\] la cual puede realizarse con la calculadora, o un software tal como lo es R mediante la función gamma(), o Excel mediante la función GAMMA(), las cuales arrojan que el valor de la función gamma para \(0.9\) será \[\begin{align*} \Gamma(0.9) = 1.068629 \end{align*}\] Y por tanto el valor de la función gamma de interés será igual a \[\begin{align*} \Gamma(2.9) &= (1.9)(0.9)\Gamma(0.9) \\ &= (1.9)(0.9)(1.068629)\\ &= 1.827355 \end{align*}\] Alternativamente se puede buscar en la calculadora o en los software, el valor de la gamma de \(2.9\) directamente, en donde \[\begin{align*} \Gamma(2.9) &= \int_{0}^\infty t^{2.9 - 1} e^{-t} dt \\ &= 1.827355 \end{align*}\] y en consecuencia se deberá obtener el mismo valor.

Distribución Gamma

Se dice que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución Gamma con parámetro de forma $\alpha$ y de escala $\beta$, si su función de densidad de probabilidad está dada por \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1}e^{-{\frac{x}{\beta}}} \quad \quad & x>0; \alpha>0; \beta>0 \\ 0 \quad \quad & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*}

Media y Varianza Gamma

Si $X\sim Gamma(\alpha,\beta)$, entonces se puede probar que la media y varianza de la variable aleatoria $X$ están dadas por \begin{align*} \mathbb{E}(X) = \alpha\beta \quad \quad Var(X)=\alpha\beta^2 \end{align*}

Ejercicio

Suponga que se realiza un estudio sobre el tiempo de transferencia de datos de un sistema de red informática, en milisegundos. Si se encuentra que el tiempo de transferencia se distribuye gamma con media \(37.5_{ms}\) y desviación estándar de \(21.36196_{ms}\)

  1. Cuales son los valores de los parámetros de la distribución Gamma?
  2. Cual es la probabilidad de que el tiempo de transferencia de datos exceda \(50_{ms}\)?
  3. Si el tiempo de transferencia ya ha superado \(20_{ms}\), cuál es la probabilidad de que no supere los \(70_{ms}\)?

Solución

  1. En el enunciado nos mencionan que las transferencias de datos en un sistema de red informática, sigue una distribución gamma con media y desviación estándar dadas por \(37_{ms}\) y \(21.36196_{ms}\), respectivament, y nos piden que calculemos el valor de los parámetros de la misma. Y por ello debemos despejar de las fórmulas de media y varianza el valor de los dos parámetros, tal que \[\begin{align*} \mathbb{E}(X) &= \alpha\beta \\ 37 &= \alpha\beta\\ \end{align*}\] mientras que \[\begin{align*} Var(X) &= \alpha\beta^2 \\ Sd(X)^2 &= \alpha\beta^2 \\ 21.36196^2 &= \alpha\beta^2 \end{align*}\] Entonces estamos en una situación dada por dos ecuaciones y dos incognitas, y por tanto, podemos despejar uno de los parámetros de una de las ecuaciones y reemplazar en la otra, para obtener el valor de uno de los parametros tal que \[\begin{align*} 37 &= \alpha\beta\\ \frac{37}{\alpha} &= \beta \end{align*}\] entonces al reemplazar el resultado anterior en la fórmula de la varianza tendremos que el valor del parámetro \(\alpha\) será igual a \[\begin{align*} 21.36196^2 &= \alpha\left(\frac{37}{\alpha}\right)^2\\ 21.36196^2 &= \frac{37^2}{\alpha}\\ \alpha &= \frac{37^2}{21.36196^2} \\ \alpha &= 3 \end{align*}\] ahora al reemplazar el valor de \(\alpha=3\) en la fórmula de la media tendremos que \[\begin{align*} 37 &= (3)\beta\\ \frac{37}{3} &= \beta \end{align*}\] Y por tanto, se tendrá que las transferencias de datos en un sistema de red informática tendrá una distribución \(Gamma(\alpha= 3, \beta = 37/3)\).
  2. Basados en los parámetros calculados en el punto anterior, estamos interesados en calcular la probabilidad de que el tiempo de transferencia de datos exceda los \(50_{ms}\), es decir \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>50) \end{align*}\] la cual, al emplear la distribución \(Gamma(\alpha=3, \beta=37/3)\) se tendrá que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>50) &= \int_{50}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} x^{\alpha-1}e^{-{\frac{x}{\beta}}} dx \\ &= \int_{50}^{\infty} \frac{1}{\Gamma(3)(37/3)^3} x^{3-1}e^{-{\frac{x}{(37/3)}}} dx \\ &= \frac{3^3}{\Gamma(3)(37)^3}\int_{50}^{\infty} x^{2}e^{-{\frac{3x}{37}}} dx \end{align*}\] En donde para calcular tan integral debemos realizar integración por partes dos veces, debido a que el parámetro \(\alpha=3\), tal que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>50) &= \frac{3^3}{\Gamma(3)(37)^3}\int_{50}^{\infty} x^{2}e^{-{\frac{3x}{37}}} dx\\ &=> u=x^2 \quad \quad \; dv = e^{-{\frac{3x}{37}}} dx \\ &=> du= 2x dx \quad v = - \frac{37}{3} e^{-{\frac{3x}{37}}} \\ &= \frac{3^3}{\Gamma(3)(37)^3} \left[-\frac{37}{3}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty + \frac{(2)(37)}{3}\int_{50}^{\infty} xe^{-{\frac{3x}{37}}} dx\right] \\ &=> u=x \quad \quad \; dv = e^{-{\frac{3x}{37}}} dx \\ &=> du= dx \quad v = - \frac{37}{3} e^{-{\frac{3x}{37}}} \\ &= \frac{3^3}{\Gamma(3)(37)^3} \left[-\frac{37}{3}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty + \frac{(2)(37)}{3} \left\{-\frac{37}{3}x e^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty+ \frac{37}{3} \int_{50}^\infty e^{-{\frac{3x}{37}}}dx\right\} \right] \\ &= \frac{3^3}{\Gamma(3)(37)^3} \left[-\frac{37}{3}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty + \frac{(2)(37)}{3} \left\{-\frac{37}{3} xe^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty - \frac{37^2}{3^2} e^{-{\frac{3x}{37}}}\Bigg|_{50}^\infty\right\} \right] \\ &= \frac{3^3}{\Gamma(3)(37)^3} \left[-\frac{37}{3}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty -\frac{(2)(37^2)x}{3^2} e^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty - \frac{(2)(37^3)}{3^3} e^{-{\frac{3x}{37}}}\Bigg|_{50}^\infty \right] \\ &= \frac{3^3}{\Gamma(3)(37)^3} \left[-\frac{37}{3}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty -\frac{(2)(37^2)}{3^2} xe^{-{\frac{3x}{37}}} \Bigg|_{50}^\infty - \frac{(2)(37^3)}{3^3} e^{-{\frac{3x}{37}}}\Bigg|_{50}^\infty \right] \\ &= \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} xe^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3x}{37}}}\right)\Bigg|_{50}^\infty \end{align*}\] Por tanto al evaluar la variable \(x\) en los límites de interés tendremos que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>50) &= \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} xe^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3x}{37}}}\right)\Bigg|_{50}^\infty \\ &= \left(0 + 0 + 0 \right) - \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}(50^2) e^{-{\frac{3(50)}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} (50)e^{-{\frac{3(50)}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3(50)}{37}}}\right) \\ &= \frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}(50^2) e^{-{\frac{3(50)}{37}}} + \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} (50)e^{-{\frac{3(50)}{37}}} + \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3(50)}{37}}} \\ &= 0.14259 + 0.07035 + 0.01735 \\ &= 0.23029 \end{align*}\] Es decir, que la probabilidad de que el tiempo de transferencia de datos exceda los \(50_{ms}\), es del \(23.029\%\).
  3. En este punto estamos interesados en calcula la probabilidad de que el tiempo de transferencia de datos sea como máximo \(70_{ms}\), cuando se sabe que ya ha superado los \(20_{ms}\), por lo cual se tendrá una probabilidad condicional de la forma \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq 70 | X>20) &= \frac{\mathbb{P}(X\leq 70 \cap X>20)}{\mathbb{P}(X>20)} \\ &= \frac{\mathbb{P}(20 < X \leq 70)}{\mathbb{P}(X>20)} \end{align*}\] Por tanto debemos calcular dos probabilidades diferentes, y luego realizar la división de las mismas, en donde, al emplear la integral realizada en el punto anterior, tendremos que la probabilidad del numerador será igual a \[\begin{align*} \mathbb{P}(20 < X \leq 70) &= \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} xe^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3x}{37}}}\right)\Bigg|_{20}^{70} \\ &= \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}(70^2) e^{-{\frac{3(70)}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} (70)e^{-{\frac{3(70)}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3(70)}{37}}}\right) \\ & \quad \quad - \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}(20^2) e^{-{\frac{3(20)}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} (20)e^{-{\frac{3(20)}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3(20)}{37}}}\right) \\ &= \left(- 0.05522 - 0.01946 - 0.00343\right) - \left(- 0.25978 - 0.32040 - 0.19758\right) \\ &= (-0.07811) - (- 0.77776) \\ &= 0.69965 \end{align*}\] Ahora, calculamos la probabilidad asociada al denominador de la misma forma \[\begin{align*} \mathbb{P}(X > 20) &= \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}x^2 e^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} xe^{-{\frac{3x}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3x}{37}}}\right)\Bigg|_{20}^{\infty} \\ &= \left(0 + 0 + 0\right) - \left(-\frac{3^2}{\Gamma(3)(37)^2}(20^2) e^{-{\frac{3(20)}{37}}} - \frac{(2)(3)}{\Gamma(3)(37)} (20)e^{-{\frac{3(20)}{37}}} - \frac{(2)}{\Gamma(3)} e^{-{\frac{3(20)}{37}}}\right) \\ &= - \left(- 0.25978 - 0.32040 - 0.19758\right) \\ &= 0.77776 \end{align*}\] Y por tanto, al reemplazar estos valores en la probabilidad condicional tendremos que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq 70 | X>20) &= \frac{\mathbb{P}(20 < X \leq 70)}{\mathbb{P}(X>20)} \\ &= \frac{0.69965}{0.77776} \\ &= 0.8995706 \end{align*}\] Y por tanto, si el tiempo de transferencia de datos ha superado \(20_{ms}\), se tendrá una probabilidad del \(89.96\%\) de que el tiempo de transferencia será como máximo de \(70_{ms}\).

Distribución Exponencial

Se dice que la variable aleatoria $X$ tiene una distribución Exponencial con parámetro de escala $\beta$, si su función de densidad de probabilidad está dada por \begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\beta} e^{-{\frac{x}{\beta}}} \quad \quad & x>0; \beta>0 \\ 0 \quad \quad & \text{en otro caso}\end{cases} \end{align*} en donde se observa que ésta distribución es un caso particular de la distribución Gamma cuando $\alpha=1$.

Media y Varianza Exponencial

Si $X\sim Exp(\beta)$, entonces se puede probar que la media y varianza de la variable aleatoria $X$ están dadas por \begin{align*} \mathbb{E}(X) = \beta \quad \quad Var(X)=\beta^2 \end{align*}

Distribución Acumulada Exponencial

Si $X\sim Exp(\beta)$, entonces se puede probar que la función de distribución acumulada de la variable aleatoria $X$ es de la forma \begin{align*} F(x) = 1 - e^{-{\frac{x}{\beta}}} \quad \quad & x>0; \beta>0 \end{align*}

Ejercicio

Suponga que el tiempo entre llegadas sucesiva de personas a un cajero de Bancolombia, posee una distribución Exponencial con un tiempo promedio de \(0.8\) minutos. Entonces, basados en ésto

  1. Calcule la probabilidad de que la próxima persona en llegar al cajero tarde más de \(4\) minutos?
  2. Si han pasado \(2\) minutos y aún no llega ningúna persona al cajero, cuál es la probabilidad de que la próxima persona tarde más de \(4\) minutos?

Solución

  1. Para calcular la probabilidad de que la próxima persona tarde más de \(4\) minutos en llegar al cajero, debemos primero encontrar el valor del parámetro de la distribución Exponencial, en donde, nos dicen en el enunciado, que el tiempo promedio entre llegadas sucesivas es de \(0.8\) minutos, tal que \[\begin{align*} \mathbb{E}(X) &= 0.8 \end{align*}\] Entonces como para la distribución Exponencial se tiene que el valor de la esperanza matemática está dada por \[\begin{align*} \mathbb{E}(X) &= \beta \end{align*}\] se tendrá que el parámetro \(\beta\) de la distribución Exponencial será igual a \[\begin{align*} \beta &= 0.8 \end{align*}\] Ahora, con el valor de este parámetro podemos calcular la probabilidad de interés empleando la función de distribución acumulada Exponencial, tal que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>4) &= 1 - \mathbb{P}(X\leq 4) \\ &= 1 - F(4) \\ &= 1 - \left(1 - e^{-{\frac{4}{\beta}}}\right) \\ &= 1 - \left(1 - e^{-{\frac{4}{0.8}}}\right) \\ &= e^{-{\frac{4}{3}}} \\ &= 0.006737947 \end{align*}\] Es decir que la probabilidad de que la próxima persona en llegar cajero de Bancolombia tarde más de \(4\) minutos es de \(0.67\%\).
  2. En esta ocasión estamos interesados en calcular una probabilidad condicional, en donde nos piden la probabilidad de que una persona tarde más de \(4\) minutos en llegar al cajero de Bancolombia, si se sabe que ya han pasado \(2\) minutos y aún no llega ningúna persona al cajero, es decir \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>4|X>2) &= \frac{\mathbb{P}(X>4 \cap X>2)}{\mathbb{P}(X>2)} \\ &= \frac{\mathbb{P}(X>4)}{\mathbb{P}(X>2)} \\ &= \frac{1 - \mathbb{P}(X \leq 4)}{1 - \mathbb{P}(X \leq 2)} \\ &= \frac{1 - F(4)}{1 - F(2)} \\ &= \frac{1 - \left(1 - e^{-{\frac{4}{0.8}}}\right)}{1 - \left(1 - e^{-{\frac{2}{0.8}}}\right)} \\ &= \frac{e^{-{\frac{4}{0.8}}}}{e^{-{\frac{2}{0.8}}}} \\ &= \frac{0.006737947}{0.082085} \\ &= 0.082085 \end{align*}\] Y por tanto se tendrá una probabilidad de \(8.21\%\) de que la próxima persona que llega al cajero de Bancolombia tarde más de \(4\) minutos, dado que ya han pasado \(2\) minutos y aún no ha llegado ninguna persona.

Propiedad de carencia de memoria

Suponga que $X$ es una variable aleatoria tal que $X\sim Exp(\beta)$, entonces sean dos reales positivos $a$ y $b$, entonces se puede probar que

  1. $\mathbb{P}(X\geq a+b | x \geq b) = \mathbb{P}(X\geq a)$
  2. $\mathbb{P}(X\leq a+b | x \geq b) = \mathbb{P}(X\leq a)$

Ejercicio

Suponga que el tiempo entre llegadas sucesiva de personas a un cajero de Bancolombia, posee una distribución Exponencial con un tiempo promedio de \(0.8\) minutos. Entonces, basados en ésto

  1. Cuál es la probabilidad de que la próxima persona tarde a lo más \(2\) minutos, si ya han pasado \(0.8\) minutos y aún no llega ninguna persona al cajero?
  2. Si han pasado \(2\) minutos y aún no llega ningúna persona al cajero, cuál es la probabilidad de que la próxima persona tarde más de \(4\) minutos?

Solución

  1. Dado que para este ejercicio tenemos que el tiempo que tarda una persona en llegar a un cajero de Bancolombia se distribuye Exponencialmente con parámetro \(\beta=0.8\), tendremos que, la probabilidad de que la próxima persona tarde a lo más \(2\) minutos, dado que ya han pasado \(0.8\) minutos y no llega ninguna persona, estará dada por una probabilidad condicional de la forma \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq2|X>0.8) \end{align*}\] la cual se podrá calcular mediante mediante la definición de probabilidad condicional, de la forma \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq2|X>0.8) = \frac{\mathbb{P}(X\leq2 \cap X>0.8) }{\mathbb{P}(X>0.8)} \end{align*}\] Otra alternativa surge debido a que el tiempo que tarda una persona en llegar a un cajero de Bancolombia posee una distribución Exponencial, y por tanto, por propiedad de carencia de memoria, la probabilidad condicional será igual a \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq2|X>0.8) &= \mathbb{P}(X\leq2 - 0.8 + 0.8|X>0.8) \\ &= \mathbb{P}(X\leq1.2 + 0.8|X>0.8) \end{align*}\] En donde, por propiedad de carencia de memoria de la distribución exponencial se tendrá una estructura similar a \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq a+b | x \geq b) = \mathbb{P}(X\leq a) \end{align*}\] y por tanto, la probabilidad de interés será de la forma \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\leq2|X>0.8) &= \mathbb{P}(X\leq1.2 + 0.8|X>0.8) \\ &= \mathbb{P}(X\leq1.2) \\ &= F(1.2) \\ &= 1 - e^{-\frac{1.2}{0.8}} \\ &= 1 - 0.2231302 \\ &= 0.7768698 \end{align*}\] lo cual significa, que exite una probablidad de \(77.69\%\) de que una persona tarde como maximo \(2\) minutos en llegar a un cajero, si ya han pasado a lo más \(0.8\) minutos y aún no ha llegado ninguna persona.
  2. Similar al punto anterior, estamos interesado en calcular una probabilidad condicional, en donde para este caso, nos piden la probabilidad de que una persona tarde más de \(4\) minutos en llegar al cajero de Bancolombia, si se sabe que ya han pasado \(2\) minutos y aún no llega ningúna persona al cajero, tal que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>4|X>2) \end{align*}\] Entonces, al aplicar la propiedad de carencia de memoria de la distribución Exponencial, se tendrá que \[\begin{align*} \mathbb{P}(X\geq a+b | x \geq b) = \mathbb{P}(X\geq a) \end{align*}\] y por tanto la probabilidad de interés será igual a \[\begin{align*} \mathbb{P}(X>4|X>2) &= \mathbb{P}(X > 4 - 2 + 2|X > 2) \\ &= \mathbb{P}(X > 2 + 2|X > 2) \\ &= \mathbb{P}(X > 2) \\ &= 1 - \mathbb{P}(X \leq 2) \\ &= 1 - F(2) \\ &= 1 - \left(1 - e^{-\frac{2}{0.8}} \right) \\ &= e^{-\frac{2}{0.8}} \\ &= 0.082085 \end{align*}\] Y por tanto se tendrá una probabilidad de \(8.21\%\) de que la próxima persona que llega al cajero de Bancolombia tarde más de \(4\) minutos, dado que ya han pasado \(2\) minutos y aún no ha llegado ninguna persona.

Relación entre la distribución Exponencial y el proceso Poisson

Suponga que el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo $t$, tiene una distribución Poisson con parámetro $\lambda$ y que el número ocurrencias en intervalos de tiempo distintos son independientes entre si. Entonces se tendrá que la distribución del tiempo transcurrido entre dos eventos de Poisson sucesivos es Exponencial con parámetro $\beta = \frac{t}{\lambda}$.

Ejercicio

Suponga que se realiza un estudio en un Call Center para observar el número de llamadas que entran al Call Center de Bancolombia por minuto, encontrando que en promedio entran al Call Center \(2\) llamadas por minuto. Basados en lo anterior, cuál es la probabilidad de que pase más de \(3\) minutos en entrar la próxima llamada al Call Center?

Solución

En el enunciado de este ejercicio nos hablan sobre el número de llamadas que entran a un Call Center por minuto, lo cual puede interpretarse como una distribución Poisson, debido a que nos hablan del número de sucesos en un intervalo de tiempo. Además nos dicen que el número promedio de llamadas que entran al Call Center posee una media de \(2\) llamadas por minuto, por lo cual se tendrá que \[\begin{align*} \mathbb{E}(X) = \lambda = 2_{llamadas/min} \end{align*}\] siendo \(X\) el número de llamadas que entran al Call Center en un intervalo de \(1\) minuto.

Ahora, cuando observamos la probabilidad que nos piden, se observa que en lugar de preguntarnos por el número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo, nos piden la probabilidad de que pase más de \(3_{min}\) hasta que entre al Call Center la próxima llamada, esto es \[\begin{align*} \mathbb{P}(Y>3) \end{align*}\] en donde \(Y\) representaría el tiempo que pasa en un Call Center entre llamadas sucesivas, la cual podría pensarse que posee una distribución Exponencial, debido a que se pregunta por una unidad de tiempo hasta que ocurra un evento.

Y por tanto, para calcular la probabilidad requeriremos encontrar el parámetro \(\beta\) asociado a la distribución Exponencial, en donde, dada la relación que hay entre la distribución Poisson y la distribución Exponencial, nos permitirá calcular mediante el empleo de una regla de \(3\), el valor del parámetro \(\beta\), tal que \[\begin{align*} 2_{llamadas} &- 1_{min} \\ 1_{llamada} &- \beta_{min} \end{align*}\] entonces al multiplicar en cruz, tendremos que \[\begin{align*} \beta &= \frac{1_{min}\times 1_{llamada}}{2_{llamadas}} \\ \beta &= \frac{1}{2}_{min} \end{align*}\] Ahora, al conocer el valor del parámetro de la distribución Exponencial, se procede al cálculo de la probabilidad de interés, tal que \[\begin{align*} \mathbb{P}(Y>3) &= 1 - \mathbb{P}(Y\leq3) \\ &= 1 - F(3) \\ &= 1 - \left(1 - e^{-\frac{3}{1/2}}\right)\\ &= e^{-6}\\ &= 0.002478752 \end{align*}\] Encontrando que, la probabilidad de que pasen más de \(3\) minutos hasta que entre la próxima llamada al Call Center, es de \(0.24\%\).

Ejercicio

En un estudio realizado en la ciudad de Medellín, se encontró que el tiempo promedio que transcurre para que un automóvil exceda los limites de velocidad establecidos para transitar en la avenida regional es de \(10\) minutos. Basados en lo anterior, cual es la probabilidad de que en un intervalo de media hora, se detecte un máximo de \(6\) pero mínimo de \(3\) automóviles que exceden el límite de velocidad por la avenida regional.

Solución

En este punto estamos interesados en calcular la probabilidad de que en un intervalo de \(30\) minutos, se detecten entre \(3\) y \(6\) automóviles, inclusive, que excedan los límites de velocidad establecidos para transitar en la avenida regional, lo cual está dado por \[\begin{align*} \mathbb{P}(3 \leq X \leq 6) \end{align*}\] Siendo \(X\) el número de automóviles que exceden los límites de velocidad en un intervalo de \(30\) minutos, por lo cual puede asumirse que \(X\) sigue una distribución Poisson.

Ahora, del enunciado nos mencionan que el tiempo promedio que transcurre hasta que un automóvil exceda los límites de velocidad es de \(10\) minutos, en donde, al hablarnos del tiempo hasta que ocurra un solo suceso, podría asumirse que se trata de una variable aleatoria \(Y\) con distribución de probabilidad Exponencial con parámetro \[\begin{align*} \mathbb{E}(Y) = \beta=10_{min} \end{align*}\] Entonces para poder realizar el cálculo de la probabilida de interés, podemos emplear la relación existente entre la distribución Poisson y la distribución Exponencial, mediante el empleo de una regla de \(3\), tal que \[\begin{align*} 10_{min} &- 1_{automóvil} \\ 30_{min} &- \lambda_{automóviles} \end{align*}\] en donde, al multiplicar en cruz, tendremos que \[\begin{align*} \lambda &= \frac{30_{min}\times 1_{automóvil}}{10_{min}} \\ \lambda &= 3_{automóviles} \end{align*}\] Por tanto, al conocer el valor del parámetro de la distribución Poisson, se procede al cálculo de la probabilidad de interés, tal que \[\begin{align*} \mathbb{P}(3 \leq X \leq 6) &= \sum_{x=3}^{6} \frac{e^{-3} 3^{x}}{x!} \\ &= 0.22404181 + 0.16803136 + 0.10081881 + 0.05040941 \\ &= 0.5433014 \end{align*}\] Encontrando una probabilidad del \(54.33\%\) de que en un intervalo de \(30\) minutos se detecten mínimo \(3\) pero máximo \(6\) automóviles que excedan los límites de velocidad establecidos para transitar en la avenida regional.