Fundamentos de probabilidad

Noción de aleatoriedad

La aleatoriedad está asociada a todo proceso cuyo resultado no puede ser determinado antes de que éste se produzca, debido a que los resultados de dicho proceso no contiene patrones reconocibles o regulares, que permitan pronosticar un resultado futuro.

Experimento aleatorio

Es aquel experimento que, a pesar de controlar las condiciones iniciales bajo las cuales se realiza, lo resultados obtenidos no son esencialmente los mismos, es decir, no es posible garantizar los mismos resultados que se obtienen inicialmente, debido a que su resultado es determinado por el azar.

Experimento estadístico

Es cualquier acción o proceso que se puede llevar a cabo bajo ciertas condiciones, de modo que en cada realización se presente un resultado, ya sea numérico o no numérico. Éstos deben cumplir ciertas características:

  • No es posible predecir el resultado exacto del experimento, en cualquiera de sus ejecuciones.
  • Es posible conocer todos los posibles resultados del experimento, previo a las realizaciones del mismo.
  • Es posible repetir el experimento bajo condiciones idénticas o similares.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento estadístico. estos espacios pueden dividirse en espacios muestrales discretos y continuos. Generalmente, el espacio muestral se denota por la letra $S$ o la letra griega $\Omega$.

Espacio muestral discreto

Es aquel que posee un número finito de posibilidades o una serie interminable con tantos elementos como números enteros existentes.

Ejercicio

Considere el experimento de lanzar un dado convencional de \(6\) caras. Escriba el espacio muestral asociado a este experimento.

Solución

Dado que el dado es un dado convencional de \(6\) caras, se tendrá que al lanzarlo, solo será posible obtener un \(1, 2, 3, 4, 5\) o \(6\), y por tanto se tendrá que \[\begin{align*} S =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \end{align*}\]

Espacio muestral continuo

Es aquel que posee un número infinito de posibilidades igual al número de puntos en un segmento de linea.

Ejercicio

Considere el experimento de espera el tiempo que pasa hasta que el decano de ciencias económicas salga de la oficina a comprar un tinto en burbuja. Escriba el espacio muestral asociado a este experimento.

Solución

Dado que el tiempo que puede tardar el decano en salir de la oficina para comprar un tinto puede ser, \(0\) minutos, \(1.2\) minutos, \(3\) horas, \(20\) días, etc, etc, se tendrá que el espacio muestral será de la forma. \[\begin{align*} S =\{\mathbb{t \in R^+ | t \geq 0}\} \end{align*}\] siendo \(t\) el tiempo en minutos que tarda el decano en salir de la oficina para comprar un tinto en la burbuja.

Evento de un espacio muestral

Es un subconjunto de resultados del espacio muestral $S$. Generalmente, los eventos se denotan por las primeras letras del abecedario de la forma $A, B, C$ o $A_1, A_2, A_3$.

Los eventos pueden ser clasificados en tres tipos

  • Simple: se da cuando el evento tiene un solo resultado o punto muestral.
  • Compuesto: se da cuando el evento tiene más de un resultado o punto muestral. Estos resultados pueden ser dependientes o independientes.
  • Imposible: se da cuando el evento no puede ocurrir dentro del espacio muestral. El evento se denota entonces por el símbolo $\phi$ que representa al conjunto vacío.

Ejercicio

  1. Considere el experimento de lanzar un dado convencional de `$6$` caras.</br> Escriba el evento
    • \(A_1\) el cual se saca un número primo en el dado.
    • \(A_2\) el cual se saca un número 3 en el dado.
    • \(A_3\) el cual se saca un \(8\) en el dado.
  2. Considere el experimento de espera el tiempo que pasa hasta que el decano de ciencias económicas salga de la oficina a comprar un tinto en burbuja. Escriba el evento
    • \(B_1\) el cual indica que el decano tarda en menos de \(1\) hora en salir de la oficina para comprar tinto en la burbuja.
    • \(B_2\) el cual indica que el decano tarda entre \(20\) y \(70\) minutos en salir de la oficina para comprar tinto en la burbuja.

Solución

  1. En puntos anteriores, se encontró que en un dado convencional de \(6\) caras, el espacio muestral está dado por \(S =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), y por tanto…
    • Dado que los números primos entre el \(1\) y el \(6\) están dados por \(2, 3, 5\), entones se tendrá que el evento \(A_1\) es un evento compuesto y estará dado por \[\begin{align*} A_1 = \{2, 3, 5\} \end{align*}\]
    • Dado que solo nos piden un evento que contenga el número \(3\), se tendrá que el evento \(A_2\) es un evento simple y estará dado por \[\begin{align*} A_2 = \{3\} \end{align*}\]
    • Dado que no es posible obtener un \(8\) en un dado convencional de \(6\) caras, entonces se tendrá que el evento \(A_3\) es un evento imposible y estará dado por \[\begin{align*} A_3 = \{\phi\} \end{align*}\]
  2. En puntos anteriores, se encontró que el espacio muestral del tiempo que puede tardar el decano en salir de la oficina para comprar un tinto, puede escribirse como \(S =\{\mathbb{t \in R^+ | t \geq 0}\}\), y por tanto…
    • Dado que nos están restringiendo el tiempo en el cual puede salir el decano de la oficina a menos de \(1\) hora, entonces se tendrá que el evento \(B_1\) estará dado por \[\begin{align*} B_1 =\{\mathbb{t \in R^+ | 0 \leq t < 60}\} \end{align*}\] siendo \(t\) el tiempo en minutos que tarda el decano en salir de la oficina para comprar un tinto en la burbuja.
    • Similar al punto anterior, dado que nos están restringiendo el tiempo en el cual puede salir el decano de la oficina a un lapso entre \(20\) minutos y \(70\) minutos, entonces se tendrá que el evento \(B_2\) estará dado por \[\begin{align*} B_2 =\{\mathbb{t \in R^+ | 20 < t < 70}\} \end{align*}\] siendo \(t\) el tiempo en minutos que tarda el decano en salir de la oficina para comprar un tinto en la burbuja.

Teoría de conjuntos

Dado que un evento puede estar compuestos por un conjunto de datos, las relaciones y resultados de la teoría de conjuntos, pueden ser utilizados para solucionar problemas de probabilidad. Por ello definimos a

  1. El complemento de un evento $A$ respecto al espacio muestral $S$, es denotado por $A^c$ o $A'$, y se define como el subconjunto de todos los elementos de $S$ que no están contenidos en $A$.
  2. La unión de dos eventos $A$ y $B$, es denotado por $A\cup B$, y se define como el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a $A$ o $B$ o ambos.
  3. La intersección de dos eventos $A$ y $B$, es denotado por $A\cap B$, es el evento que contiene todos los elementos que son comunes en $A$ y $B$.
  4. Los eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes cuando $A\cap B=\phi$, donde $\phi$ se denota como el evento nulo.

Ejercicio

Dados los resultados en los puntos anteriores

  1. Escriba el complemento del evento \(A_1\).
  2. Escriba la unión de los eventos \(B_1\) y \(B_2\).
  3. Escriba la intersección entre los eventos \(A_1\) y \(A_2\).
  4. Escriba un evento \(B_3\) que sea mutuamente excluyente del evento \(B_2\).

Solución

  1. Como el evento \(A_1\) está dado por \(A_1 = \{2, 3, 5\}\), entonces su complemento \(A_1'\) estará dado por \[\begin{align*} A_1' = \{1, 4, 6\} \end{align*}\]
  2. Como el evento \(B_1\) está dado por \(B_1 =\{\mathbb{t \in R^+ | 0 \leq t < 60}\}\), y el evento \(B_2\) está dado por \(B_2 =\{\mathbb{t \in R^+ | 20 < t < 70}\}\), entonces la unión \(B_1\cup B_2\) estará dado por \[\begin{align*} B_1\cup B_2 = \{\mathbb{t \in R^+ | 0 \leq t < 70}\} \end{align*}\]
  3. Como el evento \(A_1\) está dado por \(A_1 = \{2, 3, 5\}\), y el evento \(A_2\) está dado por \(A_2 = \{3\}\), entonces se tendrá que la intersección \(A_1\cap A_2\) estará dado por \[\begin{align*} A_1\cap A_2 = \{3\} = A_2 \end{align*}\]
  4. Como el evento \(B_2\) está dado por \(B_2 =\{\mathbb{t \in R^+ | 20 < t < 70}\}\) entonces un evento mutuamente excluyente podría ser de la forma \[\begin{align*} B_3 = \{\mathbb{t \in R^+ | 80 < t < 120}\} \end{align*}\] tal que \(B_2\cap B_3 = \phi\).

Propiedades de teoría de conjuntos

Unión Intersección
Conmutativa \(A\cup B = B \cup A\) \(A \cap B = B \cap A\)
Asociativa \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
Idempotente \(A \cup A = A\) \(A \cap A = A\)
Simplificación \(A \cup (B \cap A) = A\) \(A \cap (B \cup A) = A\)
Distributiva \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
Elemento Neutro \(A \cup \phi = A\) \(A \cap S = A\)
Absorción \(A \cup S = S\) \(A \cap \phi = \phi\)

Probabilidad

La probabilidad es una medida asociada a la posibilidad de que ocurra un determinado evento, en donde, la forma forma tradicional de estimar la probabilidad es mediante el concepto de frecuencia relativa. \begin{align*} \text{Frecuencia relativa} = \frac{\text{Número de puntos muestrales del evento de interés}}{\text{Total puntos en el espacio muestral}} \end{align*}

Ejercicio

Suponga una bolsa que contiene \(10\) bolas, de las cuales \(3\) son negras, \(5\) son azules, y \(2\) son verdes. Si se saca una bola al azar de la bolsa. Cuál es la probabilidad de que sea

  1. Negra
  2. Azul
  3. Roja
  4. Verde
  5. Negra o Azul
  6. No sea Negra y No sea Roja

Solución

  1. Dado que el número de bolas negras (éxitos) en la bolsa es \(3\) y el total de bolas en la bolsa es \(10\), se tendrá que la frecuencia relativa o probabilidad de sacar una bola negra de la bolsa es \[\begin{align*} \mathbb{P}(N) & = \frac{\text{Número de bolas negras en la bolsa}}{\text{Total de bolas en la bolsa}} \\ & = \frac{3}{10} \\ & = 0.3 \end{align*}\]
  2. Dado que el número de bolas azules (éxitos) en la bolsa es \(5\) y el total de bolas en la bolsa es \(10\), se tendrá que la frecuencia relativa o probabilidad de sacar una bola azul de la bolsa es \[\begin{align*} \mathbb{P}(A) & = \frac{\text{Número de bolas azules en la bolsa}}{\text{Total de bolas en la bolsa}} \\ & = \frac{5}{10} \\ & = 0.5 \end{align*}\]
  3. Dado que no hay ninguna bola roja (éxitos) en la bolsa, entonces, la frecuencia relativa o probabilidad de sacar una bola roja de la bolsa en la que hay de \(10\) bolas es \[\begin{align*} \mathbb{P}(R) & = \frac{\text{Número de bolas rojas en la bolsa}}{\text{Total de bolas en la bolsa}} \\ & = \frac{0}{10} \\ & = 0.0 \end{align*}\]
  4. Dado que el número de bolas verdes (éxitos) en la bolsa es \(2\) y el total de bolas en la bolsa es \(10\), se tendrá que la frecuencia relativa o probabilidad de sacar una bola verde de la bolsa es \[\begin{align*} \mathbb{P}(V) & = \frac{\text{Número de bolas verdes en la bolsa}}{\text{Total de bolas en la bolsa}} \\ & = \frac{2}{10} \\ & = 0.2 \end{align*}\]
  5. Dado que la suma del número de bolas negras y bolas azules (éxitos) en la bolsa es \(8\) y el total de bolas en la bolsa es \(10\), se tendrá que la frecuencia relativa o probabilidad de sacar una bola negra o una bola azul de la bolsa es \[\begin{align*} \mathbb{P}(N \text{ ó } A) & = \frac{\text{Número de bolas negras o azules en la bolsa}}{\text{Total de bolas en la bolsa}} \\ & = \frac{8}{10} \\ & = 0.8 \end{align*}\] Similarmente, puede llegarse al mismo resultado mediante el empleo de teoría de conjuntos, en donde \(\mathbb{P}(N \text{ ó } A) = \mathbb{P}(N \cup A)\), y como los eventos \(N\) y \(A\) son mutuamente excluyentes, es decir, \(N\cap A = \phi\), entonces la probabilidad de sacar una bola negra o una bola azul será igual a \[\begin{align*} \mathbb{P}(N \cup A) & = \mathbb{P}(N) + \mathbb{P}(A) \\ & = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} \\ & = \frac{8}{10} \\ & = 0.8 \end{align*}\]
  6. Dado que la suma del número de bolas negras y bolas rojas es de \(3\), entonces el número de bolas en la bolsa que NO SON negras y NO SON rojas es de \(7\), y por tanto, se tendrá que la frecuencia relativa o probabilidad de NO SACAR una bola negra y NO SACAR una bola bola roja de la bolsa es \[\begin{align*} \mathbb{P}(N' \text{ y } R') & = \frac{\text{Número de bolas que NO SON negras} \\ \text{ y NO SON rojas en la bolsa}}{\text{Total de bolas en la bolsa}} \\ & = \frac{7}{10} \\ & = 0.7 \end{align*}\] Mediante teoría de conjuntos, \(\mathbb{P}(N' \text{ y } R') =\) \(\mathbb{P}(N' \cap R') =\) \(1 - \mathbb{P}(N \cup R)\), y como los eventos \(N\) y \(R\) son mutuamente excluyentes, es decir, \(N\cap R = \phi\), entonces la probabilidad de NO SACAR una bola negra y NO SACAR una bola roja será igual a \[\begin{align*} \mathbb{P}(N' \cap R') & = 1 - \mathbb{P}(N \cup R) \\ & = 1 - (\mathbb{P}(N) + \mathbb{P}(R)) \\ & = 1 - \left(\frac{3}{10} + \frac{0}{10}\right) \\ & = 1 - \frac{3}{10} \\ & = \frac{7}{10} \\ & = 0.7 \end{align*}\]

Axiomas de probabilidad

Sea $S$ el espacio muestral y $A_1, A_2, \ldots$ eventos de $S$, entonces se deben cumplir los siguientes tres axiomas

  • Axioma 1- $\mathbb P(A_i)\geq0$
  • Axioma 2- $\mathbb P(S)=1$
  • Axioma 3- Si $A_1, A_2, \ldots$ son eventos mutuamente excluyentes, entonces \begin{align*} \mathbb P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup\ldots)=\sum_{i=1}^\infty \mathbb P(A_i) \end{align*}

Propiedades de probabilidad

Sea $A$ y $B$ eventos del espacio muestral $S$, entonces se deben cumplir las siguientes cinco propiedades

  1. $0 \leq \mathbb P(A) \leq 1$
  2. $\mathbb P(\phi) = 0$
  3. $\mathbb P(A') = 1 - \mathbb P(A)$
  4. $\mathbb P(A\cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb P(B) - \mathbb P(A\cap B)$
  5. Si $A\subseteq B$ entonces $\mathbb P(A) \leq \mathbb P(B)$